Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthicc Structured version   Unicode version

Theorem ivthicc 19345
 Description: The interval between any two points of a continuous real function is contained in the range of the function. Equivalently, the range of a continuous real function is convex. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivthicc.1
ivthicc.2
ivthicc.3
ivthicc.4
ivthicc.5
ivthicc.7
ivthicc.8
Assertion
Ref Expression
ivthicc
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ivthicc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivthicc.3 . . . . . . . 8
2 ivthicc.1 . . . . . . . . 9
3 ivthicc.2 . . . . . . . . 9
4 elicc2 10965 . . . . . . . . 9
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . . . . 8
61, 5mpbid 202 . . . . . . 7
76simp1d 969 . . . . . 6
8 ivthicc.4 . . . . . . . 8
9 elicc2 10965 . . . . . . . . 9
102, 3, 9syl2anc 643 . . . . . . . 8
118, 10mpbid 202 . . . . . . 7
1211simp1d 969 . . . . . 6
137, 12lttri4d 9204 . . . . 5
1413adantr 452 . . . 4
15 simpll 731 . . . . . 6
167ad2antrr 707 . . . . . . 7
1712ad2antrr 707 . . . . . . 7
18 ivthicc.8 . . . . . . . . . . . 12
1918ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11
20 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
2120eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12
2221rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11
231, 19, 22sylc 58 . . . . . . . . . 10
24 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
2524eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12
2625rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11
278, 19, 26sylc 58 . . . . . . . . . 10
28 iccssre 10982 . . . . . . . . . 10
2923, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9
3029sselda 3340 . . . . . . . 8
3130adantr 452 . . . . . . 7
32 simpr 448 . . . . . . 7
336simp2d 970 . . . . . . . . . 10
3411simp3d 971 . . . . . . . . . 10
35 iccss 10968 . . . . . . . . . 10
362, 3, 33, 34, 35syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
37 ivthicc.5 . . . . . . . . 9
3836, 37sstrd 3350 . . . . . . . 8
3938ad2antrr 707 . . . . . . 7
40 ivthicc.7 . . . . . . . 8
4140ad2antrr 707 . . . . . . 7
4236sselda 3340 . . . . . . . . 9
4342, 18syldan 457 . . . . . . . 8
4415, 43sylan 458 . . . . . . 7
45 elicc2 10965 . . . . . . . . . . 11
4623, 27, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
4746biimpa 471 . . . . . . . . 9
48 3simpc 956 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5049adantr 452 . . . . . . 7
5116, 17, 31, 32, 39, 41, 44, 50ivthle 19343 . . . . . 6
5238sselda 3340 . . . . . . . 8
53 cncff 18913 . . . . . . . . . . 11
54 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11
5540, 53, 543syl 19 . . . . . . . . . 10
56 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . 10
5755, 56sylan 458 . . . . . . . . 9
58 eleq1 2495 . . . . . . . . 9
5957, 58syl5ibcom 212 . . . . . . . 8
6052, 59syldan 457 . . . . . . 7
6160rexlimdva 2822 . . . . . 6
6215, 51, 61sylc 58 . . . . 5
63 simplr 732 . . . . . . . 8
64 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
6564fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
6665oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
6723rexrd 9124 . . . . . . . . . . 11
6867ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
69 iccid 10951 . . . . . . . . . 10
7068, 69syl 16 . . . . . . . . 9
7166, 70eqtr3d 2469 . . . . . . . 8
7263, 71eleqtrd 2511 . . . . . . 7
73 elsni 3830 . . . . . . 7
7472, 73syl 16 . . . . . 6
7537, 1sseldd 3341 . . . . . . . 8
76 fnfvelrn 5859 . . . . . . . 8
7755, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . 7
7877ad2antrr 707 . . . . . 6
7974, 78eqeltrd 2509 . . . . 5
80 simpll 731 . . . . . 6
8112ad2antrr 707 . . . . . . 7
827ad2antrr 707 . . . . . . 7
8330adantr 452 . . . . . . 7
84 simpr 448 . . . . . . 7
8511simp2d 970 . . . . . . . . . 10
866simp3d 971 . . . . . . . . . 10
87 iccss 10968 . . . . . . . . . 10
882, 3, 85, 86, 87syl22anc 1185 . . . . . . . . 9
8988, 37sstrd 3350 . . . . . . . 8
9089ad2antrr 707 . . . . . . 7
9140ad2antrr 707 . . . . . . 7
9288sselda 3340 . . . . . . . . 9
9392, 18syldan 457 . . . . . . . 8
9480, 93sylan 458 . . . . . . 7
9549adantr 452 . . . . . . 7
9681, 82, 83, 84, 90, 91, 94, 95ivthle2 19344 . . . . . 6
9789sselda 3340 . . . . . . . 8
9897, 59syldan 457 . . . . . . 7
9998rexlimdva 2822 . . . . . 6
10080, 96, 99sylc 58 . . . . 5
10162, 79, 1003jaodan 1250 . . . 4
10214, 101mpdan 650 . . 3
103102ex 424 . 2
104103ssrdv 3346 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3o 935   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   wss 3312  csn 3806   class class class wbr 4204   crn 4871   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8978  cr 8979  cxr 9109   clt 9110   cle 9111  cicc 10909  ccncf 18896 This theorem is referenced by:  evthicc2  19347 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-mulg 14805  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-cnfld 16694  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898
 Copyright terms: Public domain W3C validator