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Theorem ivthlem2 19027
 Description: Lemma for ivth 19029. Show that the supremum of cannot be less than . If it was, continuity of implies that there are points just above the supremum that are also less than , a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8
ivth.9
ivth.10
ivth.11
Assertion
Ref Expression
ivthlem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ivthlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . . . . 6
21adantr 451 . . . . 5
3 ivth.5 . . . . . . 7
4 ivth.11 . . . . . . . . 9
5 ivth.10 . . . . . . . . . . . . 13
6 ssrab2 3344 . . . . . . . . . . . . 13
75, 6eqsstri 3294 . . . . . . . . . . . 12
8 ivth.1 . . . . . . . . . . . . 13
9 ivth.2 . . . . . . . . . . . . 13
10 iccssre 10884 . . . . . . . . . . . . 13
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12
127, 11syl5ss 3276 . . . . . . . . . . 11
13 ivth.3 . . . . . . . . . . . . . 14
14 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14
15 ivth.8 . . . . . . . . . . . . . 14
16 ivth.9 . . . . . . . . . . . . . 14
178, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5ivthlem1 19026 . . . . . . . . . . . . 13
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . 12
19 ne0i 3549 . . . . . . . . . . . 12
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11
2117simprd 449 . . . . . . . . . . . 12
22 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . 14
2322ralbidv 2648 . . . . . . . . . . . . 13
2423rspcev 2969 . . . . . . . . . . . 12
259, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
2612, 20, 253jca 1133 . . . . . . . . . 10
27 suprcl 9861 . . . . . . . . . 10
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9
294, 28syl5eqel 2450 . . . . . . . 8
30 suprub 9862 . . . . . . . . . 10
3126, 18, 30syl2anc 642 . . . . . . . . 9
3231, 4syl6breqr 4165 . . . . . . . 8
33 suprleub 9865 . . . . . . . . . . 11
3426, 9, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
3521, 34mpbird 223 . . . . . . . . 9
364, 35syl5eqbr 4158 . . . . . . . 8
37 elicc2 10868 . . . . . . . . 9
388, 9, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8
3929, 32, 36, 38mpbir3and 1136 . . . . . . 7
403, 39sseldd 3267 . . . . . 6
4140adantr 451 . . . . 5
4215ralrimiva 2711 . . . . . . . 8
43 fveq2 5632 . . . . . . . . . 10
4443eleq1d 2432 . . . . . . . . 9
4544rspcv 2965 . . . . . . . 8
4639, 42, 45sylc 56 . . . . . . 7
47 difrp 10538 . . . . . . 7
4846, 13, 47syl2anc 642 . . . . . 6
4948biimpa 470 . . . . 5
50 cncfi 18612 . . . . 5
512, 41, 49, 50syl3anc 1183 . . . 4
52 ssralv 3323 . . . . . . . 8
533, 52syl 15 . . . . . . 7
5453ad2antrr 706 . . . . . 6
559ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
5629ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
57 rphalfcl 10529 . . . . . . . . . . . . 13
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
5958rpred 10541 . . . . . . . . . . 11
6056, 59readdcld 9009 . . . . . . . . . 10
61 ifcl 3690 . . . . . . . . . 10
6255, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . 9
638ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
6432ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
6516simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
668rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
679rexrd 9028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
688, 9, 14ltled 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
69 ubicc2 10906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7066, 67, 68, 69syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7271eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372rspcv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7470, 42, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 lttr 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7646, 13, 74, 75syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7765, 76mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . 15
7877imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
8046ltnrd 9100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8281breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8382notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8480, 83syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584necon2ad 2577 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685, 36jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . 15
8729, 9ltlend 9111 . . . . . . . . . . . . . . 15
8886, 87sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . 14
8988ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
9079, 89mpd 14 . . . . . . . . . . . 12
9156, 58ltaddrpd 10570 . . . . . . . . . . . 12
92 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . 13
93 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . 13
9492, 93ifboth 3685 . . . . . . . . . . . 12
9590, 91, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
9656, 62, 95ltled 9114 . . . . . . . . . 10
9763, 56, 62, 64, 96letrd 9120 . . . . . . . . 9
98 min1 10669 . . . . . . . . . 10
9955, 60, 98syl2anc 642 . . . . . . . . 9
100 elicc2 10868 . . . . . . . . . . 11
1018, 9, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
102101ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
10362, 97, 99, 102mpbir3and 1136 . . . . . . . 8
10456, 62, 96abssubge0d 12121 . . . . . . . . 9
105 rpre 10511 . . . . . . . . . . . . 13
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
10756, 106readdcld 9009 . . . . . . . . . . 11
108 min2 10670 . . . . . . . . . . . 12
10955, 60, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
110 rphalflt 10531 . . . . . . . . . . . . 13
111110adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
11259, 106, 56, 111ltadd2dd 9122 . . . . . . . . . . 11
11362, 60, 107, 109, 112lelttrd 9121 . . . . . . . . . 10
11462, 56, 106ltsubadd2d 9517 . . . . . . . . . 10
115113, 114mpbird 223 . . . . . . . . 9
116104, 115eqbrtrd 4145 . . . . . . . 8
117 oveq1 5988 . . . . . . . . . . . 12
118117fveq2d 5636 . . . . . . . . . . 11
119118breq1d 4135 . . . . . . . . . 10
120 breq2 4129 . . . . . . . . . 10
121119, 120anbi12d 691 . . . . . . . . 9
122121rspcev 2969 . . . . . . . 8
123103, 116, 95, 122syl12anc 1181 . . . . . . 7
124 r19.29 2768 . . . . . . . 8
125 pm3.45 807 . . . . . . . . . . 11
126125imp 418 . . . . . . . . . 10
127 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130129, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131 fveq2 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132131eleq1d 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133132rspcv 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134128, 130, 133sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135129, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136129, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137136, 135resubcld 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138134, 135, 137absdifltd 12123 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139 ltle 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
140134, 136, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141135recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142136recnd 9008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
143141, 142pncan3d 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144143breq2d 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
145131breq1d 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
146145, 5elrab2 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
147146baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
148147ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
149140, 144, 1483imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
150 suprub 9862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
151150, 4syl6breqr 4165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
153129, 26, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
154129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
155154, 128sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
156129, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
157155, 156lenltd 9112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
158153, 157sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
159149, 158syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
160159adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
161138, 160sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15
162127, 161mt2d 109 . . . . . . . . . . . . . 14
163162pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . 13
164163expr 598 . . . . . . . . . . . 12
165164com23 72 . . . . . . . . . . 11
166165imp3a 420 . . . . . . . . . 10
167126, 166syl5 28 . . . . . . . . 9
168167rexlimdva 2752 . . . . . . . 8
169124, 168syl5 28 . . . . . . 7
170123, 169mpan2d 655 . . . . . 6
17154, 170syld 40 . . . . 5
172171rexlimdva 2752 . . . 4
17351, 172mpd 14 . . 3
174173ex 423 . 2
175174pm2.01d 161 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 935   wceq 1647   wcel 1715   wne 2529  wral 2628  wrex 2629  crab 2632   wss 3238  c0 3543  cif 3654   class class class wbr 4125  cfv 5358  (class class class)co 5981  csup 7340  cc 8882  cr 8883   caddc 8887  cxr 9013   clt 9014   cle 9015   cmin 9184   cdiv 9570  c2 9942  crp 10505  cicc 10812  cabs 11926  ccncf 18594 This theorem is referenced by:  ivthlem3  19028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-sup 7341  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-n0 10115  df-z 10176  df-uz 10382  df-rp 10506  df-icc 10816  df-seq 11211  df-exp 11270  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-cncf 18596
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