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Theorem ivthlem2 18812
Description: Lemma for ivth 18814. Show that the supremum of  S cannot be less than  U. If it was, continuity of  F implies that there are points just above the supremum that are also less than  U, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem2  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
3 ivth.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
4 ivth.11 . . . . . . . . 9  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
5 ivth.10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
6 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
75, 6eqsstri 3208 . . . . . . . . . . . 12  |-  S  C_  ( A [,] B )
8 ivth.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ivth.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 10731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
127, 11syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
13 ivth.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
14 ivth.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <  B )
15 ivth.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
16 ivth.9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
178, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5ivthlem1 18811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
19 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
2018, 19syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2117simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
22 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2322ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2423rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 21, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
2612, 20, 253jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
27 suprcl 9714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
294, 28syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
30 suprub 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3126, 18, 30syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3231, 4syl6breqr 4063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
33 suprleub 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3426, 9, 33syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3521, 34mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
364, 35syl5eqbr 4056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
37 elicc2 10715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
388, 9, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
3929, 32, 36, 38mpbir3and 1135 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
403, 39sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4140adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  C  e.  D )
4215ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4544rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4639, 42, 45sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
47 difrp 10387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4846, 13, 47syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  <->  ( U  -  ( F `
 C ) )  e.  RR+ ) )
4948biimpa 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )
50 cncfi 18398 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
512, 41, 49, 50syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )
52 ssralv 3237 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
533, 52syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
5453ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) ) ) )
559ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
5629ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
57 rphalfcl 10378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  e.  RR+ )
5857adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  e.  RR )
6056, 59readdcld 8862 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  e.  RR )
61 ifcl 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  RR )
6255, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR )
638ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
6432ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  C )
6516simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
668rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
679rexrd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
688, 9, 14ltled 8967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
69 ubicc2 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  ( A [,] B
) )
7066, 67, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A [,] B ) )
71 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
7271eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7372rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  B )  e.  RR ) )
7470, 42, 73sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  RR )
75 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
)  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( F `  B )  e.  RR )  ->  (
( ( F `  C )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7646, 13, 74, 75syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C )  < 
U  /\  U  <  ( F `  B ) )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
7765, 76mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B )
)
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( F `  C )  <  ( F `  B
) )
8046ltnrd 8953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
81 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
8281breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
8382notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
8480, 83syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
8584necon2ad 2494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
8685, 36jctild 527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
8729, 9ltlend 8964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
8886, 87sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
8988ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
9079, 89mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  B )
9156, 58ltaddrpd 10419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )
92 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  B  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
93 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  +  ( z  /  2 ) )  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <-> 
C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
9492, 93ifboth 3596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  <  B  /\  C  <  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  ->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) )
9590, 91, 94syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9656, 62, 95ltled 8967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
9763, 56, 62, 64, 96letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ) )
98 min1 10517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_  B )
9955, 60, 98syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B )
100 elicc2 10715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
1018, 9, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  e.  ( A [,] B
)  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
102101ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  <->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  RR  /\  A  <_  if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  /\  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  B ) ) )
10362, 97, 99, 102mpbir3and 1135 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  e.  ( A [,] B ) )
10456, 62, 96abssubge0d 11914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )
105 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
106105adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
10756, 106readdcld 8862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  z )  e.  RR )
108 min2 10518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( C  +  (
z  /  2 ) )  e.  RR )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )
10955, 60, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) )
110 rphalflt 10380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  RR+  ->  ( z  /  2 )  < 
z )
111110adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
z  /  2 )  <  z )
11259, 106, 56, 111ltadd2dd 8975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  +  ( z  /  2 ) )  <  ( C  +  z ) )
11362, 60, 107, 109, 112lelttrd 8974 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  <  ( C  +  z ) )
11462, 56, 106ltsubadd2d 9370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C )  <  z  <->  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  <  ( C  +  z ) ) )
115113, 114mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C )  <  z )
116104, 115eqbrtrd 4043 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  / 
2 ) ) )  -  C ) )  <  z )
117 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( y  -  C
)  =  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )
118117fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( abs `  (
y  -  C ) )  =  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) ) )
119118breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  <->  ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z ) )
120 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( C  <  y  <->  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) )
121119, 120anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y )  <-> 
( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) )  -  C ) )  <  z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) ) ) ) )
122121rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( if ( B  <_ 
( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B , 
( C  +  ( z  /  2 ) ) )  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2
) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2
) ) )  -  C ) )  < 
z  /\  C  <  if ( B  <_  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ,  B ,  ( C  +  ( z  /  2 ) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y ) )
123103, 116, 95, 122syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )
124 r19.29 2683 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) ) )
125 pm3.45 807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  C  <  y )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) ) )
126125imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y ) )
127 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  <  y )
128 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
129 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ph )
130129, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B
) ( F `  x )  e.  RR )
131 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
132131eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
133132rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
134128, 130, 133sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
135129, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  RR )
136129, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  RR )
137136, 135resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( U  -  ( F `  C ) )  e.  RR )
138134, 135, 137absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `
 C ) ) ) ) ) )
139 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  ( ( F `  y )  <  U  ->  ( F `  y
)  <_  U )
)
140134, 136, 139syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  U  ->  ( F `  y )  <_  U ) )
141135recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( F `  C )  e.  CC )
142136recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  U  e.  CC )
143141, 142pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  C
)  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  =  U )
144143breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  <->  ( F `  y )  <  U
) )
145131breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
146145, 5elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
147146baib 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
148147ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
149140, 144, 1483imtr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  y  e.  S ) )
150 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
151150, 4syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  C )
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  ( y  e.  S  ->  y  <_  C ) )
153129, 26, 1523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  -> 
y  <_  C )
)
154129, 11syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
155154, 128sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  y  e.  RR )
156129, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  C  e.  RR )
157155, 156lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  <_  C  <->  -.  C  <  y ) )
158153, 157sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
y  e.  S  ->  -.  C  <  y ) )
159149, 158syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
160159adantld 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( ( ( F `
 C )  -  ( U  -  ( F `  C )
) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y
)  <  ( ( F `  C )  +  ( U  -  ( F `  C ) ) ) )  ->  -.  C  <  y ) )
161138, 160sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  C  <  y ) )
162127, 161mt2d 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  -.  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )
163162pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  C  <  y
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
164163expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( C  <  y  ->  ( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
) )
165164com23 72 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  -> 
( C  <  y  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) ) )
166165imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) )  /\  C  <  y )  ->  -.  ( F `  C
)  <  U )
)
167126, 166syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
168167rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
169124, 168syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  C  <  y ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U ) )
170123, 169mpan2d 655 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17154, 170syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( F `  C )  <  U )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
172171rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  ( U  -  ( F `  C ) ) )  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
17351, 172mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F `  C )  <  U
)  ->  -.  ( F `  C )  <  U )
174173ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  U  ->  -.  ( F `  C )  <  U
) )
175174pm2.01d 161 1  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  ivthlem3  18813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-cncf 18382
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