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Theorem ivthlem3 18813
Description: Lemma for ivth 18814, the intermediate value theorem. Show that  ( F `  C ) cannot be greater than  U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 ivth.10 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
3 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 ivth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 ivth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 10731 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 ivth.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
11 ivth.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  B )
12 ivth.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
13 ivth.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
14 ivth.8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
15 ivth.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 18811 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1716simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3461 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
21 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2221ralbidv 2563 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2322rspcev 2884 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
246, 20, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 19, 243jca 1132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
26 suprcl 9714 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2725, 26syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
281, 27syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2915simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 18812 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
3113adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
32 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3325, 17, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3433, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
35 suprleub 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3625, 6, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3720, 36mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
381, 37syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
39 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
405, 6, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4212, 41sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4342adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  C  e.  D )
4414ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4645eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4746rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4841, 44, 47sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
49 difrp 10387 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  RR )  -> 
( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5010, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( ( F `  C )  -  U )  e.  RR+ )
52 cncfi 18398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  (
( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
5331, 43, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
54 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5512, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5728ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
58 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( C  -  z
)  <  C )
5957, 58sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  C )
6059, 1syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
6125ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
62 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
6457, 63resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  e.  RR )
65 suprlub 9716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  ( C  -  z )  e.  RR )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6661, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6760, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  S  ( C  -  z )  < 
y )
684sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
6968ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
70 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ph )
7170, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
7271, 69sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  RR )
7370, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  C  e.  RR )
7470, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
75 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  S )
76 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7877, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  C )
7972, 73, 78abssuble0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  =  ( C  -  y ) )
8063adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  z  e.  RR )
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  z )  < 
y )
8273, 80, 72, 81ltsub23d 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  y )  < 
z )
8379, 82eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z
)
8469, 83, 75jca32 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  /\  y  e.  S ) ) )
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) ) ) )
8685reximdv2 2652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )
) )
8767, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )
88 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) ) )
89 pm3.45 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
) )
9089imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
)
9168ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
9244ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
93 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9493eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9594rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9691, 92, 95sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
9748ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  RR )
9810ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  RR )
9997, 98resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  U
)  e.  RR )
10096, 97, 99absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( ( F `  C )  -  U ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( ( F `  C
)  -  U ) ) ) ) )
10197recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
10298recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  CC )
103101, 102nncand 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  (
( F `  C
)  -  U ) )  =  U )
104103breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  <->  U  <  ( F `  y ) ) )
10593breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
106105, 2elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
107106simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  <_  U )
108107ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  <_  U )
10996, 98lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  <_  U  <->  -.  U  <  ( F `
 y ) ) )
110108, 109mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 y ) )
111110pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( U  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
112104, 111sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
113112adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( ( F `
 C )  -  U ) )  < 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <  (
( F `  C
)  +  ( ( F `  C )  -  U ) ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
114100, 113sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
115114expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  S  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) ) )
116115com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  -> 
( y  e.  S  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) ) )
117116imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U )  /\  y  e.  S
)  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
11990, 118syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
120119rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12188, 120syl5 28 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12287, 121mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12356, 122syld 40 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
124123rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
12553, 124mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) )
126125ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  C )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
127126pm2.01d 161 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  U  <  ( F `  C )
)
12848, 10lttri3d 8959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  =  U  <-> 
( -.  ( F `
 C )  < 
U  /\  -.  U  <  ( F `  C
) ) ) )
12930, 127, 128mpbir2and 888 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  =  U )
13029, 129breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  ( F `  C ) )
13148ltnrd 8953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
132 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  ( F `  C )  =  ( F `  A ) )
133132breq1d 4033 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
134133notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C
) ) )
135131, 134syl5ibcom 211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  A  ->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
136135necon2ad 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  C  =/=  A ) )
137136, 34jctild 527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A
) ) )
1385, 28ltlend 8964 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A ) ) )
139137, 138sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  A  <  C ) )
140130, 139mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  C )
14115simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
142129, 141eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) )
143 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
144143breq2d 4035 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
145144notbid 285 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
146131, 145syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
147146necon2ad 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
148147, 38jctild 527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
14928, 6ltlend 8964 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
150148, 149sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
151142, 150mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  B )
1525rexrd 8881 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1536rexrd 8881 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
154 elioo2 10697 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
155152, 153, 154syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
15628, 140, 151, 155mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
157156, 129jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736    + caddc 8740   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,]cicc 10659   abscabs 11719   -cn->ccncf 18380
This theorem is referenced by:  ivth  18814
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-cncf 18382
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