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Theorem ivthlem3 19350
Description: Lemma for ivth 19351, the intermediate value theorem. Show that  ( F `  C ) cannot be greater than  U, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ivth.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ivth.3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
ivth.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
ivth.5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
ivth.7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
ivth.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
ivth.9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
ivth.10  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
ivth.11  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, D    x, F    ph, x    x, A    x, C    x, S    x, U

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4  |-  C  =  sup ( S ,  RR ,  <  )
2 ivth.10 . . . . . . . 8  |-  S  =  { x  e.  ( A [,] B )  |  ( F `  x )  <_  U }
3 ssrab2 3428 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( A [,] B
)  |  ( F `
 x )  <_  U }  C_  ( A [,] B )
42, 3eqsstri 3378 . . . . . . 7  |-  S  C_  ( A [,] B )
5 ivth.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
6 ivth.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
7 iccssre 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
85, 6, 7syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
94, 8syl5ss 3359 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
10 ivth.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
11 ivth.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <  B )
12 ivth.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  D )
13 ivth.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( D
-cn-> CC ) )
14 ivth.8 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
15 ivth.9 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  U  /\  U  <  ( F `
 B ) ) )
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 19348 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  /\  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
1716simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
18 ne0i 3634 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  (/) )
2016simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. z  e.  S  z  <_  B )
21 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  B  ->  (
z  <_  x  <->  z  <_  B ) )
2221ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  ( A. z  e.  S  z  <_  x  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
2322rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A. z  e.  S  z  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
246, 20, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )
259, 19, 243jca 1134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x ) )
26 suprcl 9968 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
)  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  e.  RR )
281, 27syl5eqel 2520 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
2915simpld 446 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  U )
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 19349 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  U
)
3113adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  F  e.  ( D -cn-> CC ) )
32 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  A  e.  S )  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3325, 17, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
3433, 1syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  <_  C )
35 suprleub 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  B  e.  RR )  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3625, 6, 35syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B  <->  A. z  e.  S  z  <_  B ) )
3720, 36mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  sup ( S ,  RR ,  <  )  <_  B )
381, 37syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  <_  B )
39 elicc2 10975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
405, 6, 39syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A [,] B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <_  C  /\  C  <_  B ) ) )
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4212, 41sseldd 3349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  C  e.  D )
4414ralrimiva 2789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x
)  e.  RR )
45 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  C  ->  ( F `  x )  =  ( F `  C ) )
4645eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  C  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4746rspcv 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  C )  e.  RR ) )
4841, 44, 47sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  RR )
49 difrp 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  RR  /\  ( F `  C )  e.  RR )  -> 
( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5010, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  <  ( F `  C )  <->  ( ( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ ) )
5150biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( ( F `  C )  -  U )  e.  RR+ )
52 cncfi 18924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( D
-cn-> CC )  /\  C  e.  D  /\  (
( F `  C
)  -  U )  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
5331, 43, 51, 52syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) )
54 ssralv 3407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  D  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5512, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) ) ) )
5728ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
58 ltsubrp 10643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  e.  RR  /\  z  e.  RR+ )  -> 
( C  -  z
)  <  C )
5957, 58sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  C )
6059, 1syl6breq 4251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  <  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
6125ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
62 rpre 10618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  RR+  ->  z  e.  RR )
6362adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  z  e.  RR )
6457, 63resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( C  -  z )  e.  RR )
65 suprlub 9970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  ( C  -  z )  e.  RR )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6661, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( C  -  z
)  <  sup ( S ,  RR ,  <  )  <->  E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y )
)
6760, 66mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  S  ( C  -  z )  < 
y )
684sseli 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  S  ->  y  e.  ( A [,] B
) )
6968ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
70 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ph )
7170, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
7271, 69sseldd 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  RR )
7370, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  C  e.  RR )
7470, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x
) )
75 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  e.  S )
76 suprub 9969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( S  C_  RR  /\  S  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  z  <_  x )  /\  y  e.  S )  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7774, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  sup ( S ,  RR ,  <  ) )
7877, 1syl6breqr 4252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  y  <_  C )
7972, 73, 78abssuble0d 12235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  =  ( C  -  y ) )
8063adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  z  e.  RR )
81 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  z )  < 
y )
8273, 80, 72, 81ltsub23d 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( C  -  y )  < 
z )
8379, 82eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z
)
8469, 83, 75jca32 522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  ( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )
)  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  /\  y  e.  S ) ) )
8584ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( y  e.  S  /\  ( C  -  z
)  <  y )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) ) ) )
8685reximdv2 2815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  S  ( C  -  z
)  <  y  ->  E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )
) )
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )
88 r19.29 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) ) )
89 pm3.45 808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
) )
9089imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )
)
9168ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( A [,] B ) )
9244ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR )
93 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
9493eleq1d 2502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  RR  <->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9594rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( A [,] B )  ->  ( A. x  e.  ( A [,] B ) ( F `  x )  e.  RR  ->  ( F `  y )  e.  RR ) )
9691, 92, 95sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  e.  RR )
9748ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  RR )
9810ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  RR )
9997, 98resubcld 9465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  U
)  e.  RR )
10096, 97, 99absdifltd 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  <->  ( (
( F `  C
)  -  ( ( F `  C )  -  U ) )  <  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <  ( ( F `  C )  +  ( ( F `  C
)  -  U ) ) ) ) )
10197recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  C
)  e.  CC )
10298recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  U  e.  CC )
103101, 102nncand 9416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  C )  -  (
( F `  C
)  -  U ) )  =  U )
104103breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  <->  U  <  ( F `  y ) ) )
10593breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  U  <->  ( F `  y )  <_  U
) )
106105, 2elrab2 3094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ( A [,] B
)  /\  ( F `  y )  <_  U
) )
107106simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  S  ->  ( F `  y )  <_  U )
108107ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( F `  y
)  <_  U )
10996, 98lenltd 9219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( F `  y )  <_  U  <->  -.  U  <  ( F `
 y ) ) )
110108, 109mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 y ) )
111110pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( U  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
112104, 111sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( F `
 C )  -  ( ( F `  C )  -  U
) )  <  ( F `  y )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
113112adantrd 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( ( F `  C )  -  ( ( F `
 C )  -  U ) )  < 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <  (
( F `  C
)  +  ( ( F `  C )  -  U ) ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
114100, 113sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  (
z  e.  RR+  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
115114expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
y  e.  S  -> 
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) ) )
116115com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  -> 
( y  e.  S  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) ) )
117116imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U )  /\  y  e.  S )  ->  -.  U  <  ( F `  C )
) )
118117adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U )  /\  y  e.  S
)  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
11990, 118syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  /\  z  e.  RR+ )  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  <  z  /\  y  e.  S ) )  ->  -.  U  <  ( F `
 C ) ) )
120119rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( E. y  e.  ( A [,] B ) ( ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12188, 120syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  (
( A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  /\  E. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs `  ( y  -  C
) )  <  z  /\  y  e.  S
) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12287, 121mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
12356, 122syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  U  <  ( F `  C
) )  /\  z  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  ( ( F `  C )  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C ) ) )
124123rexlimdva 2830 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  ( E. z  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
z  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  (
( F `  C
)  -  U ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) ) )
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  U  <  ( F `  C ) )  ->  -.  U  <  ( F `  C
) )
126125pm2.01da 430 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  U  <  ( F `  C )
)
12748, 10lttri3d 9213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  =  U  <-> 
( -.  ( F `
 C )  < 
U  /\  -.  U  <  ( F `  C
) ) ) )
12830, 126, 127mpbir2and 889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  =  U )
12929, 128breqtrrd 4238 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  <  ( F `  C ) )
13048ltnrd 9207 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C )
)
131 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  A  ->  ( F `  C )  =  ( F `  A ) )
132131breq1d 4222 . . . . . . . . 9  |-  ( C  =  A  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
133132notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  A  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  C )  <->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C
) ) )
134130, 133syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  A  ->  -.  ( F `  A )  <  ( F `  C )
) )
135134necon2ad 2652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  C  =/=  A ) )
136135, 34jctild 528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A
) ) )
1375, 28ltlend 9218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  <  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  =/=  A ) ) )
138136, 137sylibrd 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  <  ( F `  C )  ->  A  <  C ) )
139129, 138mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A  <  C )
14015simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  <  ( F `
 B ) )
141128, 140eqbrtrd 4232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  <  ( F `  B ) )
142 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  C  ->  ( F `  B )  =  ( F `  C ) )
143142breq2d 4224 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  C  ->  (
( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  ( F `  C )  <  ( F `  C )
) )
144143notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  C  ->  ( -.  ( F `  C
)  <  ( F `  B )  <->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  C
) ) )
145130, 144syl5ibrcom 214 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  =  C  ->  -.  ( F `  C )  <  ( F `  B )
) )
146145necon2ad 2652 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  B  =/=  C ) )
147146, 38jctild 528 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C
) ) )
14828, 6ltlend 9218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  <  B  <->  ( C  <_  B  /\  B  =/=  C ) ) )
149147, 148sylibrd 226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  <  ( F `  B )  ->  C  <  B ) )
150141, 149mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  C  <  B )
1515rexrd 9134 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1526rexrd 9134 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
153 elioo2 10957 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <->  ( C  e.  RR  /\  A  < 
C  /\  C  <  B ) ) )
154151, 152, 153syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  <-> 
( C  e.  RR  /\  A  <  C  /\  C  <  B ) ) )
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
156155, 128jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A (,) B )  /\  ( F `  C )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   CCcc 8988   RRcr 8989    + caddc 8993   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291   RR+crp 10612   (,)cioo 10916   [,]cicc 10919   abscabs 12039   -cn->ccncf 18906
This theorem is referenced by:  ivth  19351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-ioo 10920  df-icc 10923  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-cncf 18908
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