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Theorem ivthlem3 18813
 Description: Lemma for ivth 18814, the intermediate value theorem. Show that cannot be greater than , and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1
ivth.2
ivth.3
ivth.4
ivth.5
ivth.7
ivth.8
ivth.9
ivth.10
ivth.11
Assertion
Ref Expression
ivthlem3
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4
2 ivth.10 . . . . . . . 8
3 ssrab2 3258 . . . . . . . 8
42, 3eqsstri 3208 . . . . . . 7
5 ivth.1 . . . . . . . 8
6 ivth.2 . . . . . . . 8
7 iccssre 10731 . . . . . . . 8
85, 6, 7syl2anc 642 . . . . . . 7
94, 8syl5ss 3190 . . . . . 6
10 ivth.3 . . . . . . . . 9
11 ivth.4 . . . . . . . . 9
12 ivth.5 . . . . . . . . 9
13 ivth.7 . . . . . . . . 9
14 ivth.8 . . . . . . . . 9
15 ivth.9 . . . . . . . . 9
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 18811 . . . . . . . 8
1716simpld 445 . . . . . . 7
18 ne0i 3461 . . . . . . 7
1917, 18syl 15 . . . . . 6
2016simprd 449 . . . . . . 7
21 breq2 4027 . . . . . . . . 9
2221ralbidv 2563 . . . . . . . 8
2322rspcev 2884 . . . . . . 7
246, 20, 23syl2anc 642 . . . . . 6
259, 19, 243jca 1132 . . . . 5
26 suprcl 9714 . . . . 5
2725, 26syl 15 . . . 4
281, 27syl5eqel 2367 . . 3
2915simpld 445 . . . . 5
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 18812 . . . . . 6
3113adantr 451 . . . . . . . . . 10
32 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . 15
3325, 17, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
3433, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . 13
35 suprleub 9718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3625, 6, 35syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
3720, 36mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
381, 37syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . 13
39 elicc2 10715 . . . . . . . . . . . . . 14
405, 6, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1135 . . . . . . . . . . . 12
4212, 41sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 451 . . . . . . . . . 10
4414ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . 13
45 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14
4746rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13
4841, 44, 47sylc 56 . . . . . . . . . . . 12
49 difrp 10387 . . . . . . . . . . . 12
5010, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
5150biimpa 470 . . . . . . . . . 10
52 cncfi 18398 . . . . . . . . . 10
5331, 43, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
54 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13
5512, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12
5655ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
5728ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5957, 58sylancom 648 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059, 1syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . . 14
6125ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
62 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6457, 63resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 suprlub 9716 . . . . . . . . . . . . . . 15
6661, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
6760, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13
684sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6968ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7170, 8syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7271, 69sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7370, 28syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7470, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
76 suprub 9715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7774, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7877, 1syl6breqr 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7972, 73, 78abssuble0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8063adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8273, 80, 72, 81ltsub23d 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8379, 82eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8469, 83, 75jca32 521 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584ex 423 . . . . . . . . . . . . . 14
8685reximdv2 2652 . . . . . . . . . . . . 13
8767, 86mpd 14 . . . . . . . . . . . 12
88 r19.29 2683 . . . . . . . . . . . . 13
89 pm3.45 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9089imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15
9168ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9244ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
93 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9493eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9594rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9691, 92, 95sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9748ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9810ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9997, 98resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10096, 97, 99absdifltd 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10197recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10298recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
103101, 102nncand 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
104103breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10593breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
106105, 2elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
107106simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
108107ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10996, 98lenltd 8965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110108, 109mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
111110pm2.21d 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112104, 111sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112adantrd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114100, 113sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115114expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
116115com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
11990, 118syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14
120119rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . 13
12188, 120syl5 28 . . . . . . . . . . . 12
12287, 121mpan2d 655 . . . . . . . . . . 11
12356, 122syld 40 . . . . . . . . . 10
124123rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9
12553, 124mpd 14 . . . . . . . 8
126125ex 423 . . . . . . 7
127126pm2.01d 161 . . . . . 6
12848, 10lttri3d 8959 . . . . . 6
12930, 127, 128mpbir2and 888 . . . . 5
13029, 129breqtrrd 4049 . . . 4
13148ltnrd 8953 . . . . . . . 8
132 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
133132breq1d 4033 . . . . . . . . 9
134133notbid 285 . . . . . . . 8
135131, 134syl5ibcom 211 . . . . . . 7
136135necon2ad 2494 . . . . . 6
137136, 34jctild 527 . . . . 5
1385, 28ltlend 8964 . . . . 5
139137, 138sylibrd 225 . . . 4
140130, 139mpd 14 . . 3
14115simprd 449 . . . . 5
142129, 141eqbrtrd 4043 . . . 4
143 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10
144143breq2d 4035 . . . . . . . . 9
145144notbid 285 . . . . . . . 8
146131, 145syl5ibrcom 213 . . . . . . 7
147146necon2ad 2494 . . . . . 6
148147, 38jctild 527 . . . . 5
14928, 6ltlend 8964 . . . . 5
150148, 149sylibrd 225 . . . 4
151142, 150mpd 14 . . 3
1525rexrd 8881 . . . 4
1536rexrd 8881 . . . 4
154 elioo2 10697 . . . 4
155152, 153, 154syl2anc 642 . . 3
15628, 140, 151, 155mpbir3and 1135 . 2
157156, 129jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  crab 2547   wss 3152  c0 3455   class class class wbr 4023  cfv 5255  (class class class)co 5858  csup 7193  cc 8735  cr 8736   caddc 8740  cxr 8866   clt 8867   cle 8868   cmin 9037  crp 10354  cioo 10656  cicc 10659  cabs 11719  ccncf 18380 This theorem is referenced by:  ivth  18814 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-cncf 18382
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