Theorem ivthlem4 7284

Description: Lemma for isupivth 7290.

Hypotheses

Ref	Expression
ivthlem4.1	|- A e. RR
ivthlem4.2	|- B e. RR
ivthlem4.3	|- U e. RR
ivthlem4.4	|- A < B
ivthlem4.5	|- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
ivthlem4.6	|- C = sup(S, RR, < )
ivthlem4.7	|- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
ivthlem4.8	|- F e. ((A[,]B)-cn->RR)

Assertion

Ref	Expression
ivthlem4	|- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)

Distinct variable groups:   A,c,x,y   B,c,x,y   x,C,y   F,c,x,y   x,S,y   U,c,y

Proof of Theorem ivthlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivthlem4.1	. . 3 |- A e. RR
2		ivthlem4.2	. . 3 |- B e. RR
3		ivthlem4.7	. . . . 5 |- S = {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U}
4		ssrab2 2134	. . . . 5 |- {c e. (A[,]B) | (F` c) <_ U} (_ (A[,]B)
5	3, 4	eqsstr 2094	. . . 4 |- S (_ (A[,]B)
6		fveq2 3730	. . . . . . 7 |- (c = A -> (F` c) = (F` A))
7	6	breq1d 2634	. . . . . 6 |- (c = A -> ((F` c) <_ U <-> (F` A) <_ U))
8	7, 3	elrab2 1910	. . . . 5 |- (A e. S <-> (A e. (A[,]B) /\ (F` A) <_ U))
9		ivthlem4.4	. . . . . . 7 |- A < B
10	1, 2, 9	ltlei 5593	. . . . . 6 |- A <_ B
11		lbicc2t 6405	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B) -> A e. (A[,]B))
12	1, 2, 10, 11	mp3an 918	. . . . 5 |- A e. (A[,]B)
13		iccssret 6397	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A[,]B) (_ RR)
14	1, 2, 13	mp2an 699	. . . . . . . . 9 |- (A[,]B) (_ RR
15		axresscn 5280	. . . . . . . . 9 |- RR (_ CC
16	14, 15	sstri 2076	. . . . . . . 8 |- (A[,]B) (_ CC
17		ivthlem4.8	. . . . . . . 8 |- F e. ((A[,]B)-cn->RR)
18		cncffvelrn 7268	. . . . . . . 8 |- (((A[,]B) (_ CC /\ RR (_ CC /\ F e. ((A[,]B)-cn->RR)) -> (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR))
19	16, 15, 17, 18	mp3an 918	. . . . . . 7 |- (A e. (A[,]B) -> (F` A) e. RR)
20	12, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (F` A) e. RR
21		ivthlem4.3	. . . . . 6 |- U e. RR
22		ivthlem4.5	. . . . . . 7 |- ((F` A) < U /\ U < (F` B))
23	22	pm3.26i 320	. . . . . 6 |- (F` A) < U
24	20, 21, 23	ltlei 5593	. . . . 5 |- (F` A) <_ U
25	8, 12, 24	mpbir2an 732	. . . 4 |- A e. S
26		iccsupr 6399	. . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ S (_ (A[,]B) /\ A e. S) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
27	5, 25, 26	mp3an23 910	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x))
28	1, 2, 27	mp2an 699	. 2 |- (S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x)
29	28, 25	pm3.2i 285	1 |- ((S (_ RR /\ S =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. S y <_ x) /\ A e. S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  A.wral 1648  E.wrex 1649  {crab 1651   (_ wss 2050  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  CCcc 5244  RRcr 5245   <_ cle 5307   < clt 5498  [,]cicc 6361  -cn->ccncf 7262

This theorem is referenced by:  ivthlem5 7285  ivthlem6 7286  ivthlem7 7287  ivthlem9 7289

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-ltp 5102  df-enr 5178  df-nr 5179  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-c 5252  df-r 5256  df-lt 5259  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-icc 6365  df-cncf 7263

Copyright terms: Public domain