MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpconst Structured version   Unicode version

Theorem ixpconst 7064
Description: Infinite Cartesian product of a constant  B. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpconst.1  |-  A  e. 
_V
ixpconst.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ixpconst  |-  X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem ixpconst
StepHypRef Expression
1 ixpconst.1 . 2  |-  A  e. 
_V
2 ixpconst.2 . 2  |-  B  e. 
_V
3 ixpconstg 7063 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  X_ x  e.  A  B  =  ( B  ^m  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   X_cixp 7055
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  8450  prdsval  13670  wunfunc  14088  wunnat  14145
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-ixp 7056
  Copyright terms: Public domain W3C validator