MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Unicode version

Theorem ixpexg 7078
Description: The existence of an infinite Cartesian product.  x is normally a free-variable parameter in 
B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 7077 . . . 4  |-  U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )
2 iunexg 5979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3 xpexg 4981 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
42, 3syldan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
5 ssexg 4341 . . . 4  |-  ( ( U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B
)  /\  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e.  _V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 645 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 uniexb 4744 . . 3  |-  ( X_ x  e.  A  B  e.  _V  <->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
86, 7sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
9 ixpprc 7075 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
10 0ex 4331 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
119, 10syl6eqel 2523 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
1211adantr 452 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  V )  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  _V )
138, 12pm2.61ian 766 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   (/)c0 3620   U.cuni 4007   U_ciun 4085    X. cxp 4868   X_cixp 7055
This theorem is referenced by:  konigthlem  8433  prdsbasex  13664  isfunc  14051  isnat  14134  natffn  14136  dmdprd  15549  dprdval  15551  elpt  17594  ptbasin2  17600  ptbasfi  17603  upixp  26385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ixp 7056
  Copyright terms: Public domain W3C validator