MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Unicode version

Theorem ixpexg 6840
Description: The existence of an infinite Cartesian product.  x is normally a free-variable parameter in 
B. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    V( x)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 6839 . . . 4  |-  U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )
2 iunexg 5767 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U_ x  e.  A  B  e.  _V )
3 xpexg 4800 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U_ x  e.  A  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
42, 3syldan 456 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e. 
_V )
5 ssexg 4160 . . . 4  |-  ( ( U. X_ x  e.  A  B  C_  ( A  X.  U_ x  e.  A  B
)  /\  ( A  X.  U_ x  e.  A  B )  e.  _V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
61, 4, 5sylancr 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
7 uniexb 4563 . . 3  |-  ( X_ x  e.  A  B  e.  _V  <->  U. X_ x  e.  A  B  e.  _V )
86, 7sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A. x  e.  A  B  e.  V )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
9 ixpprc 6837 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  =  (/) )
10 0ex 4150 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
119, 10syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
1211adantr 451 . 2  |-  ( ( -.  A  e.  _V  /\ 
A. x  e.  A  B  e.  V )  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  _V )
138, 12pm2.61ian 765 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  X_ x  e.  A  B  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   U_ciun 3905    X. cxp 4687   X_cixp 6817
This theorem is referenced by:  konigthlem  8190  prdsbasex  13351  isfunc  13738  isnat  13821  natffn  13823  dmdprd  15236  dprdval  15238  elpt  17267  ptbasin2  17273  ptbasfi  17276  isprj2  25164  cbicp  25166  prjmapcp2  25170  usptoplem  25546  istopx  25547  prcnt  25551  upixp  26403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ixp 6818
  Copyright terms: Public domain W3C validator