Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi2 Structured version   Unicode version

Theorem ixpfi2 7408
 Description: A cross product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that and are both possibly dependent on . ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1
ixpfi2.2
ixpfi2.3
Assertion
Ref Expression
ixpfi2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4
2 inss2 3564 . . . 4
3 ssfi 7332 . . . 4
41, 2, 3sylancl 645 . . 3
5 inss1 3563 . . . 4
6 ixpfi2.2 . . . . 5
76ralrimiva 2791 . . . 4
8 ssralv 3409 . . . 4
95, 7, 8mpsyl 62 . . 3
10 ixpfi 7407 . . 3
114, 9, 10syl2anc 644 . 2
12 resixp 7100 . . . . 5
135, 12mpan 653 . . . 4
1413a1i 11 . . 3
15 simprl 734 . . . . . . . . . 10
16 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
1716elixp 7072 . . . . . . . . . 10
1815, 17sylib 190 . . . . . . . . 9
1918simprd 451 . . . . . . . 8
20 simprr 735 . . . . . . . . . 10
21 vex 2961 . . . . . . . . . . 11
2221elixp 7072 . . . . . . . . . 10
2320, 22sylib 190 . . . . . . . . 9
2423simprd 451 . . . . . . . 8
25 r19.26 2840 . . . . . . . . 9
26 difss 3476 . . . . . . . . . . 11
27 ssralv 3409 . . . . . . . . . . 11
2826, 27ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15
31 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15
3230, 31syl6 32 . . . . . . . . . . . . . 14
3329sseld 3349 . . . . . . . . . . . . . . 15
34 elsni 3840 . . . . . . . . . . . . . . 15
3533, 34syl6 32 . . . . . . . . . . . . . 14
3632, 35anim12d 548 . . . . . . . . . . . . 13
37 eqtr3 2457 . . . . . . . . . . . . 13
3836, 37syl6 32 . . . . . . . . . . . 12
3938ralimdva 2786 . . . . . . . . . . 11
4039adantr 453 . . . . . . . . . 10
4128, 40syl5 31 . . . . . . . . 9
4225, 41syl5bir 211 . . . . . . . 8
4319, 24, 42mp2and 662 . . . . . . 7
4443biantrud 495 . . . . . 6
45 fvres 5748 . . . . . . . 8
46 fvres 5748 . . . . . . . 8
4745, 46eqeq12d 2452 . . . . . . 7
4847ralbiia 2739 . . . . . 6
49 inundif 3708 . . . . . . . 8
5049raleqi 2910 . . . . . . 7
51 ralunb 3530 . . . . . . 7
5250, 51bitr3i 244 . . . . . 6
5344, 48, 523bitr4g 281 . . . . 5
5418simpld 447 . . . . . . 7
55 fnssres 5561 . . . . . . 7
5654, 5, 55sylancl 645 . . . . . 6
5723simpld 447 . . . . . . 7
58 fnssres 5561 . . . . . . 7
5957, 5, 58sylancl 645 . . . . . 6
60 eqfnfv 5830 . . . . . 6
6156, 59, 60syl2anc 644 . . . . 5
62 eqfnfv 5830 . . . . . 6
6354, 57, 62syl2anc 644 . . . . 5
6453, 61, 633bitr4d 278 . . . 4
6564ex 425 . . 3
6614, 65dom2lem 7150 . 2
67 f1fi 7396 . 2
6811, 66, 67syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cdif 3319   cun 3320   cin 3321   wss 3322  csn 3816   cmpt 4269   cres 4883   wfn 5452  wf1 5454  cfv 5457  cixp 7066  cfn 7112 This theorem is referenced by:  psrbaglefi  16442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116
 Copyright terms: Public domain W3C validator