MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpfi2 Unicode version

Theorem ixpfi2 7301
Description: A cross product of finite sets such that all but finitely many are singletons is finite. (Note that  B ( x ) and 
D ( x ) are both possibly dependent on  x. ) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ixpfi2.1  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
ixpfi2.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
ixpfi2.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
Assertion
Ref Expression
ixpfi2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Distinct variable groups:    x, A    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)

Proof of Theorem ixpfi2
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfi2.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
2 inss2 3478 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  C
3 ssfi 7226 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Fin  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  C )  -> 
( A  i^i  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  C
)  e.  Fin )
5 inss1 3477 . . . 4  |-  ( A  i^i  C )  C_  A
6 ixpfi2.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
76ralrimiva 2711 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
8 ssralv 3323 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) B  e.  Fin ) )
95, 7, 8mpsyl 59 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
10 ixpfi 7300 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  e.  Fin  /\  A. x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )  ->  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
114, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin )
12 resixp 6994 . . . . 5  |-  ( ( ( A  i^i  C
)  C_  A  /\  f  e.  X_ x  e.  A  B )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B )
135, 12mpan 651 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
1413a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  ->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  e.  X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B ) )
15 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  e.  X_ x  e.  A  B )
16 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
1716elixp 6966 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  B ) )
1815, 17sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B ) )
1918simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B
)
20 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  e.  X_ x  e.  A  B )
21 vex 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
2221elixp 6966 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  X_ x  e.  A  B 
<->  ( g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
2320, 22sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B ) )
2423simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  A  ( g `  x )  e.  B
)
25 r19.26 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  <-> 
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B ) )
26 difss 3390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  C )  C_  A
27 ssralv 3323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  \  C ) 
C_  A  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) ) )
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B ) )
29 ixpfi2.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  C_  { D } )
3029sseld 3265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  e. 
{ D } ) )
31 elsni 3753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f `  x )  e.  { D }  ->  ( f `  x
)  =  D )
3230, 31syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
f `  x )  e.  B  ->  ( f `
 x )  =  D ) )
3329sseld 3265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  e. 
{ D } ) )
34 elsni 3753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g `  x )  e.  { D }  ->  ( g `  x
)  =  D )
3533, 34syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
g `  x )  e.  B  ->  ( g `
 x )  =  D ) )
3632, 35anim12d 546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( ( f `
 x )  =  D  /\  ( g `
 x )  =  D ) ) )
37 eqtr3 2385 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f `  x
)  =  D  /\  ( g `  x
)  =  D )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
3836, 37syl6 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A  \  C ) )  ->  ( (
( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
3938ralimdva 2706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C
) ( ( f `
 x )  e.  B  /\  ( g `
 x )  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
4039adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  \  C ) ( ( f `  x
)  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4128, 40syl5 28 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  A  ( ( f `  x )  e.  B  /\  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4225, 41syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  B  /\  A. x  e.  A  ( g `  x
)  e.  B )  ->  A. x  e.  ( A  \  C ) ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4319, 24, 42mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
4443biantrud 493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) ) )
45 fvres 5649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( f `
 x ) )
46 fvres 5649 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x
)  =  ( g `
 x ) )
4745, 46eqeq12d 2380 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  i^i  C )  ->  ( (
( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <-> 
( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
4847ralbiia 2660 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) )
49 inundif 3621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C ) )  =  A
5049raleqi 2825 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) )
51 ralunb 3444 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  ( ( A  i^i  C )  u.  ( A  \  C
) ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x )  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5250, 51bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  =  ( g `  x )  <->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( f `
 x )  =  ( g `  x
)  /\  A. x  e.  ( A  \  C
) ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
5344, 48, 523bitr4g 279 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  ( A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `
 x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
5418simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  f  Fn  A )
55 fnssres 5462 . . . . . . 7  |-  ( ( f  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5654, 5, 55sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5723simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  g  Fn  A )
58 fnssres 5462 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  A  /\  ( A  i^i  C ) 
C_  A )  -> 
( g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
5957, 5, 58sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
g  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C ) )
60 eqfnfv 5729 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) )  Fn  ( A  i^i  C )  /\  ( g  |`  ( A  i^i  C
) )  Fn  ( A  i^i  C ) )  ->  ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C
) ( ( f  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
)  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x ) ) )
6156, 59, 60syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  A. x  e.  ( A  i^i  C ) ( ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) `  x )  =  ( ( g  |`  ( A  i^i  C
) ) `  x
) ) )
62 eqfnfv 5729 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  A  /\  g  Fn  A )  ->  ( f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x
)  =  ( g `
 x ) ) )
6354, 57, 62syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
f  =  g  <->  A. x  e.  A  ( f `  x )  =  ( g `  x ) ) )
6453, 61, 633bitr4d 276 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
) )  ->  (
( f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) )
6564ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( f  e.  X_ x  e.  A  B  /\  g  e.  X_ x  e.  A  B
)  ->  ( (
f  |`  ( A  i^i  C ) )  =  ( g  |`  ( A  i^i  C ) )  <->  f  =  g ) ) )
6614, 65dom2lem 7044 . 2  |-  ( ph  ->  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )
67 f1fi 7290 . 2  |-  ( (
X_ x  e.  ( A  i^i  C ) B  e.  Fin  /\  ( f  e.  X_ x  e.  A  B  |->  ( f  |`  ( A  i^i  C ) ) ) : X_ x  e.  A  B -1-1-> X_ x  e.  ( A  i^i  C
) B )  ->  X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
6811, 66, 67syl2anc 642 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  A  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    \ cdif 3235    u. cun 3236    i^i cin 3237    C_ wss 3238   {csn 3729    e. cmpt 4179    |` cres 4794    Fn wfn 5353   -1-1->wf1 5355   ` cfv 5358   X_cixp 6960   Fincfn 7006
This theorem is referenced by:  psrbaglefi  16328
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010
  Copyright terms: Public domain W3C validator