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Theorem ixpiin 7080
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiin  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem ixpiin
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28zv 3715 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
2 vex 2951 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
3 eliin 4090 . . . . . 6  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
52elixp 7061 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
65ralbii 2721 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
74, 6bitri 241 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
82elixp 7061 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
9 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
10 eliin 4090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1211ralbii 2721 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
13 ralcom 2860 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1412, 13bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1514anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
168, 15bitri 241 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
171, 7, 163bitr4g 280 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
1817eqrdv 2433 . 2  |-  ( B  =/=  (/)  ->  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C )
1918eqcomd 2440 1  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   |^|_ciin 4086    Fn wfn 5441   ` cfv 5446   X_cixp 7055
This theorem is referenced by:  ixpint  7081  ptbasfi  17605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-nul 4330
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-ixp 7056
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