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Theorem ixpiin 7024
Description: The indexed intersection of a collection of infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiin  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    C( x, y)

Proof of Theorem ixpiin
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.28zv 3666 . . . 4  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( A. y  e.  B  (
f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) ) )
2 vex 2902 . . . . . 6  |-  f  e. 
_V
3 eliin 4040 . . . . . 6  |-  ( f  e.  _V  ->  (
f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C
) )
42, 3ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C )
52elixp 7005 . . . . . 6  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  C 
<->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
65ralbii 2673 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  f  e.  X_ x  e.  A  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C ) )
74, 6bitri 241 . . . 4  |-  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  A. y  e.  B  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C ) )
82elixp 7005 . . . . 5  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C ) )
9 fvex 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
10 eliin 4040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  e.  _V  ->  (
( f `  x
)  e.  |^|_ y  e.  B  C  <->  A. y  e.  B  ( f `  x )  e.  C
) )
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
1211ralbii 2673 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( f `  x
)  e.  C )
13 ralcom 2811 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
f `  x )  e.  C  <->  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1412, 13bitri 241 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C 
<-> 
A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x
)  e.  C )
1514anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( f  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  |^|_ y  e.  B  C )  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  ( f `  x )  e.  C
) )
168, 15bitri 241 . . . 4  |-  ( f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  <->  ( f  Fn  A  /\  A. y  e.  B  A. x  e.  A  (
f `  x )  e.  C ) )
171, 7, 163bitr4g 280 . . 3  |-  ( B  =/=  (/)  ->  ( f  e.  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  <->  f  e.  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C
) )
1817eqrdv 2385 . 2  |-  ( B  =/=  (/)  ->  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C  =  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C )
1918eqcomd 2392 1  |-  ( B  =/=  (/)  ->  X_ x  e.  A  |^|_ y  e.  B  C  =  |^|_ y  e.  B  X_ x  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   |^|_ciin 4036    Fn wfn 5389   ` cfv 5394   X_cixp 6999
This theorem is referenced by:  ixpint  7025  ptbasfi  17534
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-nul 4279
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402  df-ixp 7000
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