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Theorem ixpiunwdom 7321
 Description: Describe an onto function from the indexed cartesian product to the indexed union. Together with ixpssmapg 6862 this shows that and have closely linked cardinalities. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpiunwdom *
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ixpiunwdom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2804 . . . . . . . . . 10
21elixp 6839 . . . . . . . . 9
32simprbi 450 . . . . . . . 8
4 ssiun2 3961 . . . . . . . . . 10
54sseld 3192 . . . . . . . . 9
65ralimia 2629 . . . . . . . 8
73, 6syl 15 . . . . . . 7
8 nfv 1609 . . . . . . . 8
9 nfiu1 3949 . . . . . . . . 9
109nfel2 2444 . . . . . . . 8
11 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
1211eleq1d 2362 . . . . . . . 8
138, 10, 12cbvral 2773 . . . . . . 7
147, 13sylib 188 . . . . . 6
1514adantl 452 . . . . 5
1615ralrimiva 2639 . . . 4
17 eqid 2296 . . . . 5
1817fmpt2 6207 . . . 4
1916, 18sylib 188 . . 3
20 ixpssmap2g 6861 . . . . . 6
21203ad2ant2 977 . . . . 5
22 ovex 5899 . . . . . 6
2322ssex 4174 . . . . 5
2421, 23syl 15 . . . 4
25 simp1 955 . . . 4
26 xpexg 4816 . . . 4
2724, 25, 26syl2anc 642 . . 3
28 simp2 956 . . 3
29 fex2 5417 . . 3
3019, 27, 28, 29syl3anc 1182 . 2
31 ffn 5405 . . . . 5
3219, 31syl 15 . . . 4
33 dffn4 5473 . . . 4
3432, 33sylib 188 . . 3
35 n0 3477 . . . . . . . . . 10
36 eliun 3925 . . . . . . . . . . . 12
37 nfixp1 6852 . . . . . . . . . . . . . 14
3837nfel2 2444 . . . . . . . . . . . . 13
39 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14
4037, 39nfrex 2611 . . . . . . . . . . . . 13
41 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4443eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 45eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4741, 46syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
48 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4948elixp 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5049simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5150adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
52 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
53 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5453nfel2 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
55 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5655, 43eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5752, 54, 56cbvral 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5851, 57sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5958r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6160eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6259, 61syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6347, 62pm2.61d 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
65 ixpfn 6838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fndm 5359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6948dmex 4957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7068, 69syl6eqelr 2385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
71 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7364, 72mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7574, 53, 43cbvixp 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7673, 75syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . 15
77 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . 15
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
79 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8042, 78, 79fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8180ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
85 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8784, 86rspc2ev 2905 . . . . . . . . . . . . . . 15
8876, 77, 82, 87syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp32 588 . . . . . . . . . . . . 13
9038, 40, 89rexlimd 2677 . . . . . . . . . . . 12
9136, 90syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11
9291exlimiv 1624 . . . . . . . . . 10
9335, 92sylbi 187 . . . . . . . . 9
94933ad2ant3 978 . . . . . . . 8
9594alrimiv 1621 . . . . . . 7
96 ssab 3256 . . . . . . 7
9795, 96sylibr 203 . . . . . 6
9817rnmpt2 5970 . . . . . 6
9997, 98syl6sseqr 3238 . . . . 5
100 frn 5411 . . . . . 6
10119, 100syl 15 . . . . 5
10299, 101eqssd 3209 . . . 4
103 foeq3 5465 . . . 4
104102, 103syl 15 . . 3
10534, 104mpbird 223 . 2
106 fowdom 7301 . 2 *
10730, 105, 106syl2anc 642 1 *
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wal 1530  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801  csb 3094   wss 3165  c0 3468  cif 3578  ciun 3921   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   cdm 4705   crn 4706   wfn 5266  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876   cmap 6788  cixp 6833   * cwdom 7287 This theorem is referenced by:  ptcmplem2  17763 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-map 6790  df-ixp 6834  df-wdom 7289
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