MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxin Unicode version

Theorem ixxin 10673
Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
ixxin.2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
ixxin.3  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
Assertion
Ref Expression
ixxin  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, C, y, z    x, D, y, z    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxin
StepHypRef Expression
1 inrab 3440 . . 3  |-  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  { z  e. 
RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) }
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxval 10664 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A O B )  =  { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) } )
42ixxval 10664 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( C O D )  =  { z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )
53, 4ineqan12d 3372 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  {
z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } ) )
6 ixxin.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
763expa 1151 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
87adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
9 ixxin.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1093expb 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* ) )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1110ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1211adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
138, 12anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) ) )
14 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1513, 14syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) ) )
1615rabbidva 2779 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
1716an4s 799 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
181, 5, 173eqtr4a 2341 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  {
z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
19 ifcl 3601 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
2019ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
21 ifcl 3601 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )
222ixxval 10664 . . . 4  |-  ( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR*  /\  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2320, 21, 22syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2423an4s 799 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2518, 24eqtr4d 2318 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    i^i cin 3151   ifcif 3565   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   RR*cxr 8866    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  iooin  10690  itgspliticc  19191  cvmliftlem10  23825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-xr 8871
  Copyright terms: Public domain W3C validator