MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixxin Structured version   Unicode version

Theorem ixxin 10935
Description: Intersection of two intervals of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ixx.1  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
ixxin.2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
ixxin.3  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
Assertion
Ref Expression
ixxin  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, C, y, z    x, D, y, z    x, B, y, z    x, R, y, z    x, S, y, z
Allowed substitution hints:    O( x, y, z)

Proof of Theorem ixxin
StepHypRef Expression
1 inrab 3615 . . 3  |-  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  { z  e. 
RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) }
2 ixx.1 . . . . 5  |-  O  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x R z  /\  z S y ) } )
32ixxval 10926 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  ( A O B )  =  { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) } )
42ixxval 10926 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  ( C O D )  =  { z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } )
53, 4ineqan12d 3546 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( { z  e.  RR*  |  ( A R z  /\  z S B ) }  i^i  {
z  e.  RR*  |  ( C R z  /\  z S D ) } ) )
6 ixxin.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <->  ( A R z  /\  C R z ) ) )
763expa 1154 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
87adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  <-> 
( A R z  /\  C R z ) ) )
9 ixxin.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* )  ->  (
z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <->  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1093expb 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* ) )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1110ancoms 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  /\  z  e.  RR* )  ->  ( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
1211adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( z S if ( B  <_  D ,  B ,  D )  <-> 
( z S B  /\  z S D ) ) )
138, 12anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) ) )
14 an4 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) )  <->  ( ( A R z  /\  C R z )  /\  ( z S B  /\  z S D ) ) )
1513, 14syl6bbr 256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e. 
RR* ) )  /\  z  e.  RR* )  -> 
( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  <->  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) ) )
1615rabbidva 2949 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
1716an4s 801 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) }  =  { z  e. 
RR*  |  ( ( A R z  /\  z S B )  /\  ( C R z  /\  z S D ) ) } )
181, 5, 173eqtr4a 2496 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  {
z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
19 ifcl 3777 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
2019ancoms 441 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR* )
21 ifcl 3777 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )
222ixxval 10926 . . . 4  |-  ( ( if ( A  <_  C ,  C ,  A )  e.  RR*  /\  if ( B  <_  D ,  B ,  D )  e.  RR* )  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2320, 21, 22syl2an 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( B  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2423an4s 801 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) )  =  { z  e.  RR*  |  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) R z  /\  z S if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) } )
2518, 24eqtr4d 2473 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )
)  ->  ( ( A O B )  i^i  ( C O D ) )  =  ( if ( A  <_  C ,  C ,  A ) O if ( B  <_  D ,  B ,  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   {crab 2711    i^i cin 3321   ifcif 3741   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   RR*cxr 9121    <_ cle 9123
This theorem is referenced by:  iooin  10952  itgspliticc  19730  cvmliftlem10  24983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-xr 9126
  Copyright terms: Public domain W3C validator