MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Unicode version

Theorem jensenlem1 20281
Description: Lemma for jensen 20283. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16383 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 16384 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 cnrng 16396 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 rngcmn 15371 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
6 jensen.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 ssun1 3338 . . . . . 6  |-  B  C_  ( B  u.  { z } )
8 jensenlem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
97, 8syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
10 ssfi 7083 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
116, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 0re 8838 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
13 pnfxr 10455 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
14 icossre 10730 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1512, 13, 14mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 8794 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3188 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
189sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
19 jensen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
20 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2119, 20sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2218, 21syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2317, 22sseldi 3178 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
24 ssun2 3339 . . . . . 6  |-  { z }  C_  ( B  u.  { z } )
2524, 8syl5ss 3190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
26 vex 2791 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
2726snss 3748 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
2825, 27sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
29 jensenlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
30 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  A )  ->  ( T `  z )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3119, 28, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3217, 31sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
33 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
341, 2, 5, 11, 23, 28, 29, 32, 33gsumunsn 15221 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `
 x ) ) )  +  ( T `
 z ) ) )
3519, 8feqresmpt 5576 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )
3635oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) ) )
3719, 9feqresmpt 5576 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( T `  x ) ) )
3837oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) ) )
3938oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) )  +  ( T `  z
) ) )
4034, 36, 393eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) ) )
41 jensenlem.l . 2  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
42 jensenlem.s . . 3  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
4342oveq1i 5868 . 2  |-  ( S  +  ( T `  z ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )
4440, 41, 433eqtr4g 2340 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   [,)cico 10658   [,]cicc 10659    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337  ℂfldccnfld 16377
This theorem is referenced by:  jensenlem2  20282
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-cnfld 16378
  Copyright terms: Public domain W3C validator