MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Unicode version

Theorem jensenlem1 20392
Description: Lemma for jensen 20394. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16486 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 16487 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 cnrng 16502 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 rngcmn 15470 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
6 jensen.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 ssun1 3414 . . . . . 6  |-  B  C_  ( B  u.  { z } )
8 jensenlem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
97, 8syl5ss 3266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
10 ssfi 7171 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
116, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
12 0re 8928 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
13 pnfxr 10547 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
14 icossre 10822 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1512, 13, 14mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
16 ax-resscn 8884 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1715, 16sstri 3264 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
189sselda 3256 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
19 jensen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
20 ffvelrn 5746 . . . . . . 7  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2119, 20sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2218, 21syldan 456 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2317, 22sseldi 3254 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
24 ssun2 3415 . . . . . 6  |-  { z }  C_  ( B  u.  { z } )
2524, 8syl5ss 3266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
26 vex 2867 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
2726snss 3824 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
2825, 27sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
29 jensenlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
30 ffvelrn 5746 . . . . . 6  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  A )  ->  ( T `  z )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3119, 28, 30syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3217, 31sseldi 3254 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
33 fveq2 5608 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
341, 2, 5, 11, 23, 28, 29, 32, 33gsumunsn 15320 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `
 x ) ) )  +  ( T `
 z ) ) )
3519, 8feqresmpt 5659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )
3635oveq2d 5961 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) ) )
3719, 9feqresmpt 5659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( T `  x ) ) )
3837oveq2d 5961 . . . 4  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) ) )
3938oveq1d 5960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) )  +  ( T `  z
) ) )
4034, 36, 393eqtr4d 2400 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) ) )
41 jensenlem.l . 2  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
42 jensenlem.s . . 3  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
4342oveq1i 5955 . 2  |-  ( S  +  ( T `  z ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )
4440, 41, 433eqtr4g 2415 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    u. cun 3226    C_ wss 3228   {csn 3716   class class class wbr 4104    e. cmpt 4158    |` cres 4773   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Fincfn 6951   CCcc 8825   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    x. cmul 8832    +oocpnf 8954   RR*cxr 8956    < clt 8957    <_ cle 8958    - cmin 9127   [,)cico 10750   [,]cicc 10751    gsumg cgsu 13500  CMndccmn 15188   Ringcrg 15436  ℂfldccnfld 16482
This theorem is referenced by:  jensenlem2  20393
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-ico 10754  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mulg 14591  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-cnfld 16483
  Copyright terms: Public domain W3C validator