Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Unicode version

Theorem jensenlem1 20856
 Description: Lemma for jensen 20858. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1
jensen.2
jensen.3
jensen.4
jensen.5
jensen.6
jensen.7 fld g
jensen.8
jensenlem.1
jensenlem.2
jensenlem.s fld g
jensenlem.l fld g
Assertion
Ref Expression
jensenlem1
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16738 . . . 4 fld
2 cnfldadd 16739 . . . 4 fld
3 cnrng 16754 . . . . 5 fld
4 rngcmn 15725 . . . . 5 fld fld CMnd
53, 4mp1i 12 . . . 4 fld CMnd
6 jensen.4 . . . . 5
7 jensenlem.2 . . . . . 6
87unssad 3510 . . . . 5
9 ssfi 7358 . . . . 5
106, 8, 9syl2anc 644 . . . 4
11 0re 9122 . . . . . . 7
12 pnfxr 10744 . . . . . . 7
13 icossre 11022 . . . . . . 7
1411, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6
15 ax-resscn 9078 . . . . . 6
1614, 15sstri 3343 . . . . 5
178sselda 3334 . . . . . 6
18 jensen.5 . . . . . . 7
1918ffvelrnda 5899 . . . . . 6
2017, 19syldan 458 . . . . 5
2116, 20sseldi 3332 . . . 4
227unssbd 3511 . . . . 5
23 vex 2965 . . . . . 6
2423snss 3950 . . . . 5
2522, 24sylibr 205 . . . 4
26 jensenlem.1 . . . 4
2718, 25ffvelrnd 5900 . . . . 5
2816, 27sseldi 3332 . . . 4
29 fveq2 5757 . . . 4
301, 2, 5, 10, 21, 25, 26, 28, 29gsumunsn 15575 . . 3 fld g fld g
3118, 7feqresmpt 5809 . . . 4
3231oveq2d 6126 . . 3 fld g fld g
3318, 8feqresmpt 5809 . . . . 5
3433oveq2d 6126 . . . 4 fld g fld g
3534oveq1d 6125 . . 3 fld g fld g
3630, 32, 353eqtr4d 2484 . 2 fld g fld g
37 jensenlem.l . 2 fld g
38 jensenlem.s . . 3 fld g
3938oveq1i 6120 . 2 fld g
4036, 37, 393eqtr4g 2499 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   cun 3304   wss 3306  csn 3838   class class class wbr 4237   cmpt 4291   cres 4909  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110  cfn 7138  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   cpnf 9148  cxr 9150   clt 9151   cle 9152   cmin 9322  cico 10949  cicc 10950   g cgsu 13755  CMndccmn 15443  crg 15691  ℂfldccnfld 16734 This theorem is referenced by:  jensenlem2  20857 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-addf 9100  ax-mulf 9101 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-ico 10953  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-cnfld 16735
 Copyright terms: Public domain W3C validator