MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem1 Structured version   Unicode version

Theorem jensenlem1 20856
Description: Lemma for jensen 20858. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem1
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 16738 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 16739 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 cnrng 16754 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
4 rngcmn 15725 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
53, 4mp1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
6 jensen.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
7 jensenlem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
87unssad 3510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9 ssfi 7358 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
106, 8, 9syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
11 0re 9122 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
12 pnfxr 10744 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
13 icossre 11022 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
1411, 12, 13mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
15 ax-resscn 9078 . . . . . 6  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3343 . . . . 5  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
178sselda 3334 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
18 jensen.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
1918ffvelrnda 5899 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2017, 19syldan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2116, 20sseldi 3332 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
227unssbd 3511 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
23 vex 2965 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
2423snss 3950 . . . . 5  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
2522, 24sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
26 jensenlem.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
2718, 25ffvelrnd 5900 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2816, 27sseldi 3332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
29 fveq2 5757 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
301, 2, 5, 10, 21, 25, 26, 28, 29gsumunsn 15575 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `
 x ) ) )  +  ( T `
 z ) ) )
3118, 7feqresmpt 5809 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) )
3231oveq2d 6126 . . 3  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( T `
 x ) ) ) )
3318, 8feqresmpt 5809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( T `  x ) ) )
3433oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) ) )
3534oveq1d 6125 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( T `  x
) ) )  +  ( T `  z
) ) )
3630, 32, 353eqtr4d 2484 . 2  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) ) )
37 jensenlem.l . 2  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
38 jensenlem.s . . 3  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
3938oveq1i 6120 . 2  |-  ( S  +  ( T `  z ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )  +  ( T `
 z ) )
4036, 37, 393eqtr4g 2499 1  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1727    u. cun 3304    C_ wss 3306   {csn 3838   class class class wbr 4237    e. cmpt 4291    |` cres 4909   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   Fincfn 7138   CCcc 9019   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    + caddc 9024    x. cmul 9026    +oocpnf 9148   RR*cxr 9150    < clt 9151    <_ cle 9152    - cmin 9322   [,)cico 10949   [,]cicc 10950    gsumg cgsu 13755  CMndccmn 15443   Ringcrg 15691  ℂfldccnfld 16734
This theorem is referenced by:  jensenlem2  20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-ico 10953  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-cnfld 16735
  Copyright terms: Public domain W3C validator