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Theorem jensenlem2 20818
Description: Lemma for jensen 20819. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
jensenlem.3  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
jensenlem.4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D
)
jensenlem.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem2  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D  /\  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 16717 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
2 cnrng 16715 . . . . . . . 8  |-fld  e.  Ring
3 rngabl 15685 . . . . . . . 8  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Abel )
42, 3mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->fld  e. 
Abel )
5 jensen.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 jensenlem.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
76unssad 3516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
8 ssfi 7321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
95, 7, 8syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
10 resubdrg 16742 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  RR )  e.  DivRing )
1110simpli 445 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
12 subrgsubg 15866 . . . . . . . 8  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld ) )
1311, 12mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld )
)
14 remulcl 9067 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
1514adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
16 jensen.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
17 0re 9083 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
18 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
19 icossre 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2017, 18, 19mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
21 fss 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  T : A
--> RR )
2216, 20, 21sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T : A --> RR )
23 jensen.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
24 jensen.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
25 fss 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : A --> D  /\  D  C_  RR )  ->  X : A --> RR )
2623, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : A --> RR )
27 inidm 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  A )  =  A
2815, 22, 26, 5, 5, 27off 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  X ) : A --> RR )
29 fssres 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  o F  x.  X ) : A --> RR  /\  B  C_  A )  ->  (
( T  o F  x.  X )  |`  B ) : B --> RR )
3028, 7, 29syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) : B --> RR )
319, 30fisuppfi 14765 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
321, 4, 9, 13, 30, 31gsumsubgcl 15517 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  e.  RR )
3332recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  e.  CC )
34 ax-resscn 9039 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3520, 34sstri 3349 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
366unssbd 3517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
37 vex 2951 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
3837snss 3918 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
3936, 38sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
4016, 39ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4135, 40sseldi 3338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
4223, 39ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  D )
4324, 42sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  RR )
4443recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  CC )
4541, 44mulcld 9100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  e.  CC )
46 jensen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
47 jensen.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
48 jensen.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
49 jensen.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
50 jensenlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
51 jensenlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
52 jensenlem.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
5324, 46, 47, 5, 16, 23, 48, 49, 50, 6, 51, 52jensenlem1 20817 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
54 jensenlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
5554rpred 10640 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
56 elrege0 10999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( T `  z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( T `  z
) ) )
5756simplbi 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( T `  z )  e.  RR )
5840, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  RR )
5955, 58readdcld 9107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  +  ( T `  z ) )  e.  RR )
6053, 59eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
6160recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
6217a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6354rpgt0d 10643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  S )
6456simprbi 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( T `  z
) )
6540, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T `  z ) )
6655, 58addge01d 9606 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( T `  z )  <->  S  <_  ( S  +  ( T `  z ) ) ) )
6765, 66mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S  +  ( T `  z ) ) )
6867, 53breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  L )
6962, 55, 60, 63, 68ltletrd 9222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  L )
7069gt0ne0d 9583 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =/=  0 )
7133, 45, 61, 70divdird 9820 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  /  L ) ) )
72 cnfldbas 16699 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
73 cnfldadd 16700 . . . . . . 7  |-  +  =  ( +g  ` fld )
74 rngcmn 15686 . . . . . . . 8  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
752, 74mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
767sselda 3340 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
7716ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7876, 77syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
7935, 78sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
8024adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  C_  RR )
8123ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X `  x )  e.  D )
8276, 81syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  D )
8380, 82sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
8483recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  CC )
8579, 84mulcld 9100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) )  e.  CC )
86 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
87 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( X `  x )  =  ( X `  z ) )
8886, 87oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) )  =  ( ( T `
 z )  x.  ( X `  z
) ) )
8972, 73, 75, 9, 85, 39, 50, 45, 88gsumunsn 15536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) ) )
9016feqmptd 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  =  ( x  e.  A  |->  ( T `
 x ) ) )
9123feqmptd 5771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  A  |->  ( X `
 x ) ) )
925, 77, 81, 90, 91offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  X )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) )
9392reseq1d 5137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )
94 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )
956, 94syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )
9693, 95eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  {
z } )  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
9796oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) ) )
9892reseq1d 5137 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) )  |`  B ) )
99 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) ) )
1007, 99syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
10198, 100eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
102101oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) ) )
103102oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) ) )
10489, 97, 1033eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) ) )
105104oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) )  /  L ) )
10655recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
10754rpne0d 10645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
10833, 106, 61, 107, 70dmdcand 9811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L ) )
10961, 106, 61, 70divsubdird 9821 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  S )  /  L
)  =  ( ( L  /  L )  -  ( S  /  L ) ) )
11053oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  -  S
)  =  ( ( S  +  ( T `
 z ) )  -  S ) )
111106, 41pncan2d 9405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  +  ( T `  z ) )  -  S )  =  ( T `  z ) )
112110, 111eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  -  S
)  =  ( T `
 z ) )
113112oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  S )  /  L
)  =  ( ( T `  z )  /  L ) )
11461, 70dividd 9780 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  /  L
)  =  1 )
115114oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  /  L )  -  ( S  /  L ) )  =  ( 1  -  ( S  /  L
) ) )
116109, 113, 1153eqtr3rd 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( S  /  L ) )  =  ( ( T `
 z )  /  L ) )
117116oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( X `  z ) ) )
11841, 44, 61, 70div23d 9819 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( X `  z
) )  /  L
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( X `  z ) ) )
119117, 118eqtr4d 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
)  =  ( ( ( T `  z
)  x.  ( X `
 z ) )  /  L ) )
120108, 119oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  /  L ) ) )
12171, 105, 1203eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )
122 jensenlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D
)
12355, 60, 70redivcld 9834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  e.  RR )
12454rpge0d 10644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
125 divge0 9871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )  ->  0  <_  ( S  /  L ) )
12655, 124, 60, 69, 125syl22anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S  /  L ) )
12761mulid1d 9097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  x.  1 )  =  L )
12868, 127breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( L  x.  1 ) )
129 1re 9082 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
130129a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
131 ledivmul 9875 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )  -> 
( ( S  /  L )  <_  1  <->  S  <_  ( L  x.  1 ) ) )
13255, 130, 60, 69, 131syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  <_  1  <->  S  <_  ( L  x.  1 ) ) )
133128, 132mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  <_  1 )
13417, 129elicc2i 10968 . . . . . 6  |-  ( ( S  /  L )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( S  /  L )  e.  RR  /\  0  <_ 
( S  /  L
)  /\  ( S  /  L )  <_  1
) )
135123, 126, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
136122, 42, 1353jca 1134 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
13724, 47cvxcl 20815 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) )  e.  D )
138136, 137mpdan 650 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) )  e.  D
)
139121, 138eqeltrd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D )
14046, 138ffvelrnd 5863 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  e.  RR )
14146, 122ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR )
142123, 141remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  e.  RR )
14346, 42ffvelrnd 5863 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X `  z )
)  e.  RR )
14458, 143remulcld 9108 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  RR )
145144, 60, 70redivcld 9834 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  e.  RR )
146142, 145readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  e.  RR )
147 fco 5592 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : D --> RR  /\  X : A --> D )  ->  ( F  o.  X ) : A --> RR )
14846, 23, 147syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  X
) : A --> RR )
14915, 22, 148, 5, 5, 27off 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) ) : A --> RR )
150 fssres 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) ) : A --> RR  /\  B  C_  A )  ->  (
( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) : B --> RR )
151149, 7, 150syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) : B --> RR )
1529, 151fisuppfi 14765 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1531, 4, 9, 13, 151, 152gsumsubgcl 15517 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  e.  RR )
154153, 55, 107redivcld 9834 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  e.  RR )
155123, 154remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR )
156 resubcl 9357 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( S  /  L
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( S  /  L
) )  e.  RR )
157129, 123, 156sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( S  /  L ) )  e.  RR )
158157, 143remulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  RR )
159155, 158readdcld 9107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  e.  RR )
160 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
161160oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
162161fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) )
163 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
164163oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
165164oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
166162, 165breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) )
167166imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  x
) )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) )
168 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z
) ) )
169168oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  =  ( ( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )
170169fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  ( F `  ( (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
171 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( X `  z ) ) )
172171oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
173172oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( t  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
174170, 173breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
175174imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) ) )
176 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
177 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( S  /  L
) ) )
178177oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( X `
 z ) )  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z
) ) )
179176, 178oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )
180179fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  ( F `  ( (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z ) ) ) )  =  ( F `
 ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
181 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
t  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  =  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
182177oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 ( X `  z ) ) )  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
183181, 182oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( t  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
184180, 183breq12d 4217 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  <->  ( F `  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
185184imbi2d 308 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( F `
 ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) ) )
18649expcom 425 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) )
187167, 175, 185, 186vtocl3ga 3013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( ( ( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) ) )  <_  ( (
( S  /  L
)  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
188122, 42, 135, 187syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  ( (
( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) ) )  <_  ( (
( S  /  L
)  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
189188pm2.43i 45 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
190116oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  =  ( ( ( T `  z )  /  L )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
191143recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X `  z )
)  e.  CC )
19241, 191, 61, 70div23d 9819 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )
193190, 192eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  =  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )
194193oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
195189, 194breqtrd 4228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
196192, 190eqtr4d 2470 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )
197196oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
198 jensenlem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )
19955, 60, 63, 69divgt0d 9938 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  /  L ) )
200 lemul2 9855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR  /\  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B ) )  /  S )  e.  RR  /\  (
( S  /  L
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  /  L ) ) )  ->  ( ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  <->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
201141, 154, 123, 199, 200syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  <->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
202198, 201mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) )
203142, 155, 158, 202leadd1dd 9632 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
204197, 203eqbrtrd 4224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  <_  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
205140, 146, 159, 195, 204letrd 9219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
206121fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )  =  ( F `  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
207153recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  e.  CC )
208144recnd 9106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  CC )
209207, 208, 61, 70divdird 9820 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
21020, 77sseldi 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  RR )
21146ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  D
)  ->  ( F `  ( X `  x
) )  e.  RR )
21281, 211syldan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( X `  x ) )  e.  RR )
213210, 212remulcld 9108 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  RR )
214213recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  CC )
21576, 214syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  CC )
21687fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( X `  x ) )  =  ( F `  ( X `  z )
) )
21786, 216oveq12d 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  =  ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
21872, 73, 75, 9, 215, 39, 50, 208, 217gsumunsn 15536 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  +  ( ( T `  z
)  x.  ( F `
 ( X `  z ) ) ) ) )
21946feqmptd 5771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  D  |->  ( F `
 y ) ) )
220 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( X `  x ) ) )
22181, 91, 219, 220fmptco 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  X
)  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 ( X `  x ) ) ) )
2225, 77, 212, 90, 221offval2 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
223222reseq1d 5137 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
224 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
2256, 224syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
226223, 225eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
227226oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) ) )
228222reseq1d 5137 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) )  |`  B )
)
229 resmpt 5183 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) ) )
2307, 229syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) ) ) )
231228, 230eqtrd 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) ) ) )
232231oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) ) )
233232oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  +  ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
234218, 227, 2333eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
235234oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  /  L ) )
236207, 106, 61, 107, 70dmdcand 9811 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  L ) )
237236, 193oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L ) ) )
238209, 235, 2373eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
239205, 206, 2383brtr4d 4234 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )
240139, 239jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D  /\  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    |` cres 4872    o. ccom 4874   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   RR+crp 10604   [,)cico 10910   [,]cicc 10911   ↾s cress 13462    gsumg cgsu 13716  SubGrpcsubg 14930  CMndccmn 15404   Abelcabel 15405   Ringcrg 15652   DivRingcdr 15827  SubRingcsubrg 15856  ℂfldccnfld 16695
This theorem is referenced by:  jensen  20819
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-cnfld 16696
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