MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  jensenlem2 Unicode version

Theorem jensenlem2 20298
Description: Lemma for jensen 20299. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
jensen.1  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
jensen.2  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
jensen.3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
jensen.4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
jensen.5  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
jensen.6  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
jensen.7  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
jensen.8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
jensenlem.1  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
jensenlem.2  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
jensenlem.s  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
jensenlem.l  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
jensenlem.3  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
jensenlem.4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D
)
jensenlem.5  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )
Assertion
Ref Expression
jensenlem2  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D  /\  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) ) )
Distinct variable groups:    a, b,
t, x, y, A    D, a, b, t, x, y    ph, a, b, t, x, y    F, a, b, t, x, y    T, a, b, t, x, y    X, a, b, t, x, y    z, a, B, b, t, x, y    t, L, x, y    S, a, b, t, x, y
Allowed substitution hints:    ph( z)    A( z)    D( z)    S( z)    T( z)    F( z)    L( z, a, b)    X( z)

Proof of Theorem jensenlem2
StepHypRef Expression
1 cnfld0 16414 . . . . . . 7  |-  0  =  ( 0g ` fld )
2 cnrng 16412 . . . . . . . 8  |-fld  e.  Ring
3 rngabl 15386 . . . . . . . 8  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Abel )
42, 3mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->fld  e. 
Abel )
5 jensen.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 ssun1 3351 . . . . . . . . 9  |-  B  C_  ( B  u.  { z } )
7 jensenlem.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  u.  {
z } )  C_  A )
86, 7syl5ss 3203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
9 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  A )  ->  B  e.  Fin )
105, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
11 resubdrg 16439 . . . . . . . . 9  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  /\  (flds  RR )  e.  DivRing )
1211simpli 444 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  (SubRing ` fld )
13 subrgsubg 15567 . . . . . . . 8  |-  ( RR  e.  (SubRing ` fld )  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld ) )
1412, 13mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  (SubGrp ` fld )
)
15 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  x.  y
)  e.  RR )
1615adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  RR )
17 jensen.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T : A --> ( 0 [,)  +oo ) )
18 0re 8854 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
19 pnfxr 10471 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e.  RR*
20 icossre 10746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
2118, 19, 20mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
22 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  T : A
--> RR )
2317, 21, 22sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T : A --> RR )
24 jensen.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : A --> D )
25 jensen.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
26 fss 5413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : A --> D  /\  D  C_  RR )  ->  X : A --> RR )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : A --> RR )
28 inidm 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( A  i^i  A )  =  A
2916, 23, 27, 5, 5, 28off 6109 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  X ) : A --> RR )
30 fssres 5424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  o F  x.  X ) : A --> RR  /\  B  C_  A )  ->  (
( T  o F  x.  X )  |`  B ) : B --> RR )
3129, 8, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) : B --> RR )
3210, 31fisuppfi 14466 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
331, 4, 10, 14, 31, 32gsumsubgcl 15218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  e.  RR )
3433recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  e.  CC )
35 ax-resscn 8810 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
3621, 35sstri 3201 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
37 ssun2 3352 . . . . . . . . . 10  |-  { z }  C_  ( B  u.  { z } )
3837, 7syl5ss 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z }  C_  A )
39 vex 2804 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
4039snss 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
4138, 40sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  z  e.  A )
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  A )  ->  ( T `  z )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4317, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4436, 43sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  CC )
45 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : A --> D  /\  z  e.  A )  ->  ( X `  z
)  e.  D )
4624, 41, 45syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  D )
4725, 46sseldd 3194 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  z
)  e.  CC )
4944, 48mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  e.  CC )
50 jensen.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> RR )
51 jensen.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  D  /\  b  e.  D ) )  -> 
( a [,] b
)  C_  D )
52 jensen.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  (fld  gsumg  T ) )
53 jensen.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
54 jensenlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  z  e.  B
)
55 jensenlem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  B ) )
56 jensenlem.l . . . . . . . 8  |-  L  =  (fld 
gsumg  ( T  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
5725, 50, 51, 5, 17, 24, 52, 53, 54, 7, 55, 56jensenlem1 20297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  =  ( S  +  ( T `  z ) ) )
58 jensenlem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR+ )
5958rpred 10406 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
60 elrege0 10762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( ( T `  z )  e.  RR  /\  0  <_ 
( T `  z
) ) )
6160simplbi 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  ( T `  z )  e.  RR )
6243, 61syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T `  z
)  e.  RR )
6359, 62readdcld 8878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S  +  ( T `  z ) )  e.  RR )
6457, 63eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
6564recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  e.  CC )
6618a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
6758rpgt0d 10409 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  S )
6860simprbi 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  ( T `  z
) )
6943, 68syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( T `  z ) )
7059, 62addge01d 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( T `  z )  <->  S  <_  ( S  +  ( T `  z ) ) ) )
7169, 70mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S  +  ( T `  z ) ) )
7271, 57breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  L )
7366, 59, 64, 67, 72ltletrd 8992 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  L )
7473gt0ne0d 9353 . . . . 5  |-  ( ph  ->  L  =/=  0 )
7534, 49, 65, 74divdird 9590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  /  L ) ) )
76 cnfldbas 16399 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
77 cnfldadd 16400 . . . . . . 7  |-  +  =  ( +g  ` fld )
78 rngcmn 15387 . . . . . . . 8  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e. CMnd )
792, 78mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->fld  e. CMnd
)
808sselda 3193 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  A )
81 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T : A --> ( 0 [,)  +oo )  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8217, 81sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8380, 82syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
8436, 83sseldi 3191 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( T `  x )  e.  CC )
8525adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  C_  RR )
86 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X : A --> D  /\  x  e.  A )  ->  ( X `  x
)  e.  D )
8724, 86sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( X `  x )  e.  D )
8880, 87syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  D )
8985, 88sseldd 3194 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  RR )
9089recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x )  e.  CC )
9184, 90mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) )  e.  CC )
92 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( T `  x )  =  ( T `  z ) )
93 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( X `  x )  =  ( X `  z ) )
9492, 93oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) )  =  ( ( T `
 z )  x.  ( X `  z
) ) )
9576, 77, 79, 10, 91, 41, 54, 49, 94gsumunsn 15237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) ) )
9617feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  T  =  ( x  e.  A  |->  ( T `
 x ) ) )
9724feqmptd 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  =  ( x  e.  A  |->  ( X `
 x ) ) )
985, 82, 87, 96, 97offval2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  X )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) )
9998reseq1d 4970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )
100 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )
1017, 100syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) )
10299, 101eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  {
z } )  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
103102oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  =  (fld  gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x ) ) ) ) )
10498reseq1d 4970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) )  |`  B ) )
105 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) ) )
1068, 105syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( X `  x
) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
107104, 106eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( X `
 x ) ) ) )
108107oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) ) )
109108oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( X `  x )
) ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
) ) )
11095, 103, 1093eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) ) )
111110oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( X `  z ) ) )  /  L ) )
11259recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
11358rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
11434, 112, 65, 113, 74dmdcand 9581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L ) )
11565, 112, 65, 74divsubdird 9591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  S )  /  L
)  =  ( ( L  /  L )  -  ( S  /  L ) ) )
11657oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  -  S
)  =  ( ( S  +  ( T `
 z ) )  -  S ) )
117112, 44pncan2d 9175 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( S  +  ( T `  z ) )  -  S )  =  ( T `  z ) )
118116, 117eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  -  S
)  =  ( T `
 z ) )
119118oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  -  S )  /  L
)  =  ( ( T `  z )  /  L ) )
12065, 74dividd 9550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  /  L
)  =  1 )
121120oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( L  /  L )  -  ( S  /  L ) )  =  ( 1  -  ( S  /  L
) ) )
122115, 119, 1213eqtr3rd 2337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( S  /  L ) )  =  ( ( T `
 z )  /  L ) )
123122oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( X `  z ) ) )
12444, 48, 65, 74div23d 9589 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( X `  z
) )  /  L
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( X `  z ) ) )
125123, 124eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
)  =  ( ( ( T `  z
)  x.  ( X `
 z ) )  /  L ) )
126114, 125oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( X `  z )
)  /  L ) ) )
12775, 111, 1263eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )
128 jensenlem.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D
)
12959, 64, 74redivcld 9604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  e.  RR )
13058rpge0d 10410 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
131 divge0 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )  ->  0  <_  ( S  /  L ) )
13259, 130, 64, 73, 131syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S  /  L ) )
13365mulid1d 8868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  x.  1 )  =  L )
13472, 133breqtrrd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  <_  ( L  x.  1 ) )
135 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
136135a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
137 ledivmul 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( L  e.  RR  /\  0  <  L ) )  -> 
( ( S  /  L )  <_  1  <->  S  <_  ( L  x.  1 ) ) )
13859, 136, 64, 73, 137syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  <_  1  <->  S  <_  ( L  x.  1 ) ) )
139134, 138mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  <_  1 )
14018, 135elicc2i 10732 . . . . . 6  |-  ( ( S  /  L )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( ( S  /  L )  e.  RR  /\  0  <_ 
( S  /  L
)  /\  ( S  /  L )  <_  1
) )
141129, 132, 139, 140syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
142128, 46, 1413jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
14325, 51cvxcl 20295 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )  ->  ( (
( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) )  e.  D )
144142, 143mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) )  e.  D
)
145127, 144eqeltrd 2370 . 2  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D )
146 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( F : D --> RR  /\  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) )  e.  D
)  ->  ( F `  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  e.  RR )
14750, 144, 146syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  e.  RR )
148 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( F : D --> RR  /\  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D
)  ->  ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR )
14950, 128, 148syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR )
150129, 149remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  e.  RR )
151 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : D --> RR  /\  ( X `  z )  e.  D )  -> 
( F `  ( X `  z )
)  e.  RR )
15250, 46, 151syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X `  z )
)  e.  RR )
15362, 152remulcld 8879 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  RR )
154153, 64, 74redivcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  e.  RR )
155150, 154readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  e.  RR )
156 fco 5414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : D --> RR  /\  X : A --> D )  ->  ( F  o.  X ) : A --> RR )
15750, 24, 156syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  X
) : A --> RR )
15816, 23, 157, 5, 5, 28off 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) ) : A --> RR )
159 fssres 5424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) ) : A --> RR  /\  B  C_  A )  ->  (
( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) : B --> RR )
160158, 8, 159syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) : B --> RR )
16110, 160fisuppfi 14466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( `' ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
1621, 4, 10, 14, 160, 161gsumsubgcl 15218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  e.  RR )
163162, 59, 113redivcld 9604 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  e.  RR )
164129, 163remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR )
165 resubcl 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( S  /  L
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  ( S  /  L
) )  e.  RR )
166135, 129, 165sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( S  /  L ) )  e.  RR )
167166, 152remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  RR )
168164, 167readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  e.  RR )
169 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
t  x.  x )  =  ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
170169oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
171170fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  ( F `  ( (
t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) )
172 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
173172oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
t  x.  ( F `
 x ) )  =  ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
174173oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( t  x.  ( F `  x )
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y ) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )
175171, 174breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( F `  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( (
t  x.  ( F `
 x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) )
176175imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  x
) )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) ) ) )
177 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z
) ) )
178177oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  =  ( ( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )
179178fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  ( F `  ( (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
180 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( X `  z ) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 y ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
182181oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( t  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  =  ( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
183179, 182breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) )  <->  ( F `  ( ( t  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
184183imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( X `  z )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) ) )
185 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )
186 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  ( S  /  L
) ) )
187186oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( X `
 z ) )  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z
) ) )
188185, 187oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )
189188fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  ( F `  ( (
t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z ) ) ) )  =  ( F `
 ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
190 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
t  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  =  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
191186oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( F `
 ( X `  z ) ) )  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
192190, 191oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( t  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
193189, 192breq12d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( F `  (
( t  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  <->  ( F `  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
194193imbi2d 307 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( S  /  L )  ->  (
( ph  ->  ( F `
 ( ( t  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( t  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( F `
 ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) ) )
19553expcom 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D  /\  t  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  <_  ( ( t  x.  ( F `  x ) )  +  ( ( 1  -  t )  x.  ( F `  y )
) ) ) )
196176, 184, 194, 195vtocl3ga 2866 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S )  e.  D  /\  ( X `  z
)  e.  D  /\  ( S  /  L
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ph  ->  ( F `  ( ( ( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) ) )  <_  ( (
( S  /  L
)  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
197128, 46, 141, 196syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  ->  ( F `  ( (
( S  /  L
)  x.  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( X `  z ) ) ) )  <_  ( (
( S  /  L
)  x.  ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) ) )
198197pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
199122oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  =  ( ( ( T `  z )  /  L )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
200152recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  ( X `  z )
)  e.  CC )
20144, 200, 65, 74div23d 9589 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( ( T `  z
)  /  L )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )
202199, 201eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  =  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )
203202oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
204198, 203breqtrd 4063 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
205201, 199eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) )  /  L
)  =  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )
206205oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
207 jensenlem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )
20859, 64, 67, 73divgt0d 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( S  /  L ) )
209 lemul2 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  e.  RR  /\  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B ) )  /  S )  e.  RR  /\  (
( S  /  L
)  e.  RR  /\  0  <  ( S  /  L ) ) )  ->  ( ( F `
 ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  <->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
210149, 163, 129, 208, 209syl112anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  <_ 
( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S )  <->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) ) )
211207, 210mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  <_  ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) ) )
212150, 164, 167, 211leadd1dd 9402 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L ) )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
213206, 212eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) ) )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) )  <_  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
214147, 155, 168, 204, 213letrd 8989 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) )  <_ 
( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
215127fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )  =  ( F `  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( X `  z )
) ) ) )
216162recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  e.  CC )
217153recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  e.  CC )
218216, 217, 65, 74divdird 9590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X
) )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L
) ) )
21921, 82sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( T `  x )  e.  RR )
220 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : D --> RR  /\  ( X `  x )  e.  D )  -> 
( F `  ( X `  x )
)  e.  RR )
22150, 220sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( X `  x )  e.  D
)  ->  ( F `  ( X `  x
) )  e.  RR )
22287, 221syldan 456 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  ( X `  x ) )  e.  RR )
223219, 222remulcld 8879 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  RR )
224223recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  CC )
22580, 224syldan 456 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  e.  CC )
22693fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( X `  x ) )  =  ( F `  ( X `  z )
) )
22792, 226oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) )  =  ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) )
22876, 77, 79, 10, 225, 41, 54, 217, 227gsumunsn 15237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  +  ( ( T `  z
)  x.  ( F `
 ( X `  z ) ) ) ) )
22950feqmptd 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  D  |->  ( F `
 y ) ) )
230 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( X `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( X `  x ) ) )
23187, 97, 229, 230fmptco 5707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  o.  X
)  =  ( x  e.  A  |->  ( F `
 ( X `  x ) ) ) )
2325, 82, 222, 96, 231offval2 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
233232reseq1d 4970 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )
234 resmpt 5016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  { z } )  C_  A  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
2357, 234syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
236233, 235eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) )  =  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )
237236oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  ( B  u.  { z } )  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) ) )
238232reseq1d 4970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B )  =  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) )  |`  B )
)
239 resmpt 5016 . . . . . . . . . 10  |-  ( B 
C_  A  ->  (
( x  e.  A  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) ) )
2408, 239syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( ( T `
 x )  x.  ( F `  ( X `  x )
) ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) ) ) )
241238, 240eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B )  =  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x
)  x.  ( F `
 ( X `  x ) ) ) ) )
242241oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  =  (fld 
gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) ) )
243242oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( x  e.  B  |->  ( ( T `  x )  x.  ( F `  ( X `  x ) ) ) ) )  +  ( ( T `
 z )  x.  ( F `  ( X `  z )
) ) ) )
244228, 237, 2433eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  =  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
245244oveq1d 5889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L )  =  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  +  ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  /  L ) )
246216, 112, 65, 113, 74dmdcand 9581 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  /  L )  x.  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  =  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  L ) )
247246, 202oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) )  =  ( ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  L )  +  ( ( ( T `  z )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) )  /  L ) ) )
248218, 245, 2473eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L )  =  ( ( ( S  /  L )  x.  ( (fld 
gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  B ) )  /  S ) )  +  ( ( 1  -  ( S  /  L
) )  x.  ( F `  ( X `  z ) ) ) ) )
249214, 215, 2483brtr4d 4069 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  (
(fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) )
250145, 249jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L )  e.  D  /\  ( F `  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  X )  |`  ( B  u.  {
z } ) ) )  /  L ) )  <_  ( (fld  gsumg  ( ( T  o F  x.  ( F  o.  X ) )  |`  ( B  u.  { z } ) ) )  /  L ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   RR+crp 10370   [,)cico 10674   [,]cicc 10675   ↾s cress 13165    gsumg cgsu 13417  SubGrpcsubg 14631  CMndccmn 15105   Abelcabel 15106   Ringcrg 15353   DivRingcdr 15528  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393
This theorem is referenced by:  jensen  20299
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-cnfld 16394
  Copyright terms: Public domain W3C validator