Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.16nn0 Unicode version

Theorem jm2.16nn0 26973
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 26972 if Yrm is redefined as described in rmyluc 26898. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10460 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10284 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 0z 10257 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 congid 26934 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
7 rmy0 26890 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
87oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 ) )
96, 8breqtrrd 4206 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) )
10 1z 10275 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
11 congid 26934 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
123, 10, 11sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
13 rmy1 26891 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
1413oveq1d 6063 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
1512, 14breqtrrd 4206 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) )
16 pm3.43 833 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) ) )
171adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  ZZ )
19 eluzel2 10457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
22 nnz 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
24 frmy 26875 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2524fovcl 6142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2621, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2726, 17zmulcld 10345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
2820, 27zmulcld 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ )
29 zmulcl 10288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3023, 10, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3120, 30zmulcld 10345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ )
3218, 28, 313jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
33323adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
34 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
3523, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  -  1 )  e.  ZZ )
3624fovcl 6142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3721, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3837, 35jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ ) )
39383adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ ) )
4018, 20, 203jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
)
41403adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
4227, 30jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
43423adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  ( b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
44 congid 26934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4518, 20, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
46453adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4718, 26, 233jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
48473adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
4910a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  ZZ )
5017, 49jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
51503adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
52 simp3r 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )
53 iddvds 12826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( A  - 
1 ) )
5418, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( A  -  1 ) )
55543adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) )
56 congmul 26930 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b
)  /\  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  (
b  x.  1 ) ) )
5748, 51, 52, 55, 56syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) )
58 congmul 26930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  - 
1 )  ||  (
2  -  2 )  /\  ( A  - 
1 )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) ) )  ->  ( A  - 
1 )  ||  (
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) ) ) )
5941, 43, 46, 57, 58syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) ) ) )
60 simp3l 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
61 congsub 26933 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( b  x.  1 ) ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
6233, 39, 59, 60, 61syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
63 rmyluc 26898 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6421, 23, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
65 nncn 9972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  CC )
6665mulid1d 9069 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  x.  1 )  =  b )
6766oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  b ) )
68652timesd 10174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
6967, 68eqtrd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( b  +  b ) )
7069oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( ( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) ) )
71 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7365, 65, 72pnncand 9414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( b  +  1 ) )
7470, 73eqtr2d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
7664, 75oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
77763adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  (
b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
7862, 77breqtrrd 4206 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
79783exp 1152 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8079a2d 24 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8116, 80syl5 30 . . 3  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
82 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
83 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
8482, 83oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  0 )  - 
0 ) )
8584breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  0 )  - 
0 ) ) )
8685imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) ) ) )
87 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
88 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  a  =  1 )
8987, 88oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  1 )  - 
1 ) )
9089breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  1 )  - 
1 ) ) )
9190imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) ) ) )
92 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
93 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  a  =  ( b  - 
1 ) )
9492, 93oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
9594breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
9695imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) ) ) )
97 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
98 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
9997, 98oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )
10099breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  b )  -  b ) ) )
101100imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b
) ) ) )
102 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
103 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
104102, 103oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
105104breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) )
106105imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  (
b  +  1 ) ) ) ) )
107 oveq2 6056 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
108 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
109107, 108oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
110109breq2d 4192 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  N )  -  N ) ) )
111110imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N
) ) ) )
1129, 15, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 1112nn0ind 26906 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) ) )
113112impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452    || cdivides 12815   Yrm crmy 26862
This theorem is referenced by:  jm2.27a  26974  jm2.27c  26976
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
  Copyright terms: Public domain W3C validator