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Theorem jm2.16nn0 27075
Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 27074 if Yrm is redefined as described in rmyluc 27000. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.16nn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )

Proof of Theorem jm2.16nn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10496 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2zm 10320 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  e.  ZZ )
4 0z 10293 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 congid 27036 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
63, 4, 5sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 0  -  0 ) )
7 rmy0 26992 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
87oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  0 )  -  0 )  =  ( 0  -  0 ) )
96, 8breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) )
10 1z 10311 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
11 congid 27036 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
123, 10, 11sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 1  -  1 ) )
13 rmy1 26993 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
1413oveq1d 6096 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A Yrm  1 )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
1512, 14breqtrrd 4238 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) )
16 pm3.43 833 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) ) )
171adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ZZ )
1817, 2syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  e.  ZZ )
19 eluzel2 10493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
2  e.  ZZ )
21 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
22 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  ZZ )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
24 frmy 26977 . . . . . . . . . . . . . 14  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2524fovcl 6175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2621, 23, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2726, 17zmulcld 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ )
2820, 27zmulcld 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ )
29 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3023, 10, 29sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  x.  1 )  e.  ZZ )
3120, 30zmulcld 10381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ )
3218, 28, 313jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
33323adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  (
2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  e.  ZZ ) )
34 peano2zm 10320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
b  -  1 )  e.  ZZ )
3523, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  -  1 )  e.  ZZ )
3624fovcl 6175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3721, 35, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ )
3837, 35jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  (
b  -  1 )  e.  ZZ ) )
39383adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ ) )
4018, 20, 203jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )
)
41403adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ ) )
4227, 30jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
43423adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  ( b  x.  1 )  e.  ZZ ) )
44 congid 27036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4518, 20, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
46453adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( 2  -  2 ) )
4718, 26, 233jca 1134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
48473adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )
4910a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  ZZ )
5017, 49jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
51503adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )
52 simp3r 986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )
53 iddvds 12863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  -  1 )  e.  ZZ  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( A  - 
1 ) )
5418, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( A  -  1 ) )
55543adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) )
56 congmul 27032 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  b )  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b
)  /\  ( A  -  1 )  ||  ( A  -  1
) ) )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  (
b  x.  1 ) ) )
5748, 51, 52, 55, 56syl112anc 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) )
58 congmul 27032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  e.  ZZ  /\  (
b  x.  1 )  e.  ZZ )  /\  ( ( A  - 
1 )  ||  (
2  -  2 )  /\  ( A  - 
1 )  ||  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  -  ( b  x.  1 ) ) ) )  ->  ( A  - 
1 )  ||  (
( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  (
b  x.  1 ) ) ) )
5941, 43, 46, 57, 58syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) ) ) )
60 simp3l 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
61 congsub 27035 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  - 
1 )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  e.  ZZ  /\  ( b  -  1 )  e.  ZZ )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A
) )  -  (
2  x.  ( b  x.  1 ) ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
6233, 39, 59, 60, 61syl112anc 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
63 rmyluc 27000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) ) )
6421, 23, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) ) )
65 nncn 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  CC )
6665mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  x.  1 )  =  b )
6766oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( 2  x.  b ) )
68652timesd 10210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  b )  =  ( b  +  b ) )
6967, 68eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  (
2  x.  ( b  x.  1 ) )  =  ( b  +  b ) )
7069oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( ( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) ) )
71 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  NN  ->  1  e.  CC )
7365, 65, 72pnncand 9450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( b  +  b )  -  ( b  -  1 ) )  =  ( b  +  1 ) )
7470, 73eqtr2d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  NN  ->  (
b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  - 
1 ) ) )
7664, 75oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )  -  (
( 2  x.  (
b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
77763adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  (
b  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )  -  ( A Yrm  ( b  - 
1 ) ) )  -  ( ( 2  x.  ( b  x.  1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
7862, 77breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
79783exp 1152 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8079a2d 24 . . . 4  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) )  /\  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
8116, 80syl5 30 . . 3  |-  ( b  e.  NN  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) )  /\  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  b )  -  b ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) ) )
82 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  0 ) )
83 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  a  =  0 )
8482, 83oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  0 )  - 
0 ) )
8584breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  0 )  - 
0 ) ) )
8685imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  0 )  -  0 ) ) ) )
87 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  1 ) )
88 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  1  ->  a  =  1 )
8987, 88oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  1 )  - 
1 ) )
9089breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  1 )  - 
1 ) ) )
9190imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  1  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  1 )  -  1 ) ) ) )
92 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  -  1 ) ) )
93 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  a  =  ( b  - 
1 ) )
9492, 93oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) )
9594breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
)  <->  ( A  - 
1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  - 
1 ) )  -  ( b  -  1 ) ) ) )
9695imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  - 
1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  ( b  -  1 ) )  -  (
b  -  1 ) ) ) ) )
97 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
98 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
9997, 98oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
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10099breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  b )  -  b ) ) )
101100imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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) ) ) )
102 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
103 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  a  =  ( b  +  1 ) )
104102, 103oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) )
105104breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  -  ( b  +  1 ) ) ) )
106105imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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b  +  1 ) ) ) ) )
107 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
108 id 20 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  a  =  N )
109107, 108oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( A Yrm  a )  -  a )  =  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
110109breq2d 4224 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
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1 )  ||  (
( A Yrm  N )  -  N ) ) )
111110imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  a )  -  a
) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N
) ) ) )
1129, 15, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 1112nn0ind 27008 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A  -  1 )  ||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) ) )
113112impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  -  1 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  -  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    - cmin 9291   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    || cdivides 12852   Yrm crmy 26964
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27076  jm2.27c  27078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-numer 13127  df-denom 13128  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-squarenn 26904  df-pell1qr 26905  df-pell14qr 26906  df-pell1234qr 26907  df-pellfund 26908  df-rmx 26965  df-rmy 26966
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