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Theorem jm2.17a 27027
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 ) )
2 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
41, 3breq12d 4227 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) )
54imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ 0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
6 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b ) )
7 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
87oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
96, 8breq12d 4227 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
109imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
11 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) ) )
12 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1312oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4227 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N ) )
17 oveq1 6090 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1817oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
1916, 18breq12d 4227 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 309 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
21 1le1 9652 . . . . 5  |-  1  <_  1
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  1 )
23 2cn 10072 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
24 eluzelz 10498 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2524zcnd 10378 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
26 mulcl 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
28 ax-1cn 9050 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
29 subcl 9307 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3027, 28, 29sylancl 645 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3130exp0d 11519 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
32 0p1e1 10095 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332oveq2i 6094 . . . . 5  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
34 rmy1 26995 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
3533, 34syl5eq 2482 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
3622, 31, 353brtr4d 4244 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  <_ 
( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
37 2re 10071 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
38 eluzelre 10499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
3938adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
40 remulcl 9077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4137, 39, 40sylancr 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
42 1re 9092 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43 resubcl 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
4441, 42, 43sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
45 peano2nn0 10262 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
4645adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
4744, 46reexpcld 11542 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
48473adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  e.  RR )
49 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
50 nn0z 10306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
5150adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
5251peano2zd 10380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
53 frmy 26979 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 6177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5649, 52, 55syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 44remulcld 9118 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  e.  RR )
58573adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5952peano2zd 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
6053fovcl 6177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
6160zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
6249, 59, 61syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
63623adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
64303ad2ant2 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
65 simp1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
6664, 65expp1d 11526 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
67 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6844, 67reexpcld 11542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  e.  RR )
69 2nn 10135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
70 eluz2b2 10550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
7170simplbi 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
7271adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN )
73 nnmulcl 10025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7469, 72, 73sylancr 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  NN )
75 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
76 nn0ge0 10249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ( 2  x.  A )  -  1 ) )
7774, 75, 763syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) )
7844, 77jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) )
7968, 56, 783jca 1135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
80793adant3 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
81 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
82 lemul1a 9866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  <_  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
8466, 83eqbrtrd 4234 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
85 nn0cn 10233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
8685adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
87 pncan 9313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8886, 28, 87sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8988oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
9053fovcl 6177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
9190zred 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
9249, 51, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
9389, 92eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
94 remulcl 9077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9556, 42, 94sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9641, 56remulcld 9118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
97 nn0re 10232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
9897adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
9998lep1d 9944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  <_  ( b  +  1 ) )
100 lermy 27022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <_  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10149, 51, 52, 100syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  <_  (
b  +  1 )  <-> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10299, 101mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
10356recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  CC )
104103mulid1d 9107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
105102, 89, 1043brtr4d 4244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )
10693, 95, 96, 105lesub2dd 9645 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10741recnd 9116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
10828a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
109103, 107, 108subdid 9491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
110103, 107mulcomd 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
111110oveq1d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
112109, 111eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
113 rmyluc2 27003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11449, 52, 113syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
115106, 112, 1143brtr4d 4244 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1161153adant3 978 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
11748, 58, 63, 84, 116letrd 9229 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1181173exp 1153 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
119118a2d 25 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1205, 10, 15, 20, 36, 119nn0ind 10368 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ N )  <_ 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
121120impcom 421 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   2c2 10051   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   ^cexp 11384   Yrm crmy 26966
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  27090
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-numer 13129  df-denom 13130  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-squarenn 26906  df-pell1qr 26907  df-pell14qr 26908  df-pell1234qr 26909  df-pellfund 26910  df-rmx 26967  df-rmy 26968
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