Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17a Unicode version

Theorem jm2.17a 26923
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 ) )
2 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
a  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
32oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
41, 3breq12d 4193 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  0  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ 0 )  <_  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) ) ) )
6 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b ) )
7 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
a  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
87oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
96, 8breq12d 4193 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) ) )
11 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) ) )
12 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  +  1 )  =  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )
1312oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1411, 13breq12d 4193 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 6056 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ a )  =  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N ) )
17 oveq1 6055 . . . . . 6  |-  ( a  =  N  ->  (
a  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
1817oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
1916, 18breq12d 4193 . . . 4  |-  ( a  =  N  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) )
2019imbi2d 308 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ a
)  <_  ( A Yrm  ( a  +  1 ) ) )  <->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ N
)  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
21 1le1 9614 . . . . 5  |-  1  <_  1
2221a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  1 )
23 2cn 10034 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
24 eluzelz 10460 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2524zcnd 10340 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  CC )
26 mulcl 9038 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  CC )
2723, 25, 26sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  CC )
28 ax-1cn 9012 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
29 subcl 9269 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3027, 28, 29sylancl 644 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
3130exp0d 11480 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
32 0p1e1 10057 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3332oveq2i 6059 . . . . 5  |-  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  ( A Yrm  1 )
34 rmy1 26891 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  1 )  =  1 )
3533, 34syl5eq 2456 . . . 4  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  ( 0  +  1 ) )  =  1 )
3622, 31, 353brtr4d 4210 . . 3  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ 0 )  <_ 
( A Yrm  ( 0  +  1 ) ) )
37 2re 10033 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
38 eluzelre 10461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
3938adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
40 remulcl 9039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
4137, 39, 40sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  RR )
42 1re 9054 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
43 resubcl 9329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
4441, 42, 43sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  -  1 )  e.  RR )
45 peano2nn0 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e. 
NN0 )
4645adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  NN0 )
4744, 46reexpcld 11503 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  e.  RR )
48473adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  e.  RR )
49 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
50 nn0z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
5150adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  ZZ )
5251peano2zd 10342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  +  1 )  e.  ZZ )
53 frmy 26875 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
5453fovcl 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  ZZ )
5554zred 10339 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5649, 52, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
5756, 44remulcld 9080 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  e.  RR )
58573adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  e.  RR )
5952peano2zd 10342 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )
6053fovcl 6142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  ZZ )
6160zred 10339 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( b  +  1 )  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
6249, 59, 61syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
63623adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  e.  RR )
64303ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
2  x.  A )  -  1 )  e.  CC )
65 simp1 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  b  e.  NN0 )
6664, 65expp1d 11487 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ) )
67 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  NN0 )
6844, 67reexpcld 11503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  e.  RR )
69 2nn 10097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN
70 eluz2b2 10512 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
7170simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
7271adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  A  e.  NN )
73 nnmulcl 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
7469, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  NN )
75 nnm1nn0 10225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0 )
76 nn0ge0 10211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ( 2  x.  A )  -  1 ) )
7774, 75, 763syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) )
7844, 77jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) )
7968, 56, 783jca 1134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
80793adant3 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
2  x.  A )  -  1 ) ) ) )
81 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
82 lemul1a 9828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
b )  e.  RR  /\  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( ( ( 2  x.  A
)  -  1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  (
( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ b
)  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) )  <_  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ) )
8380, 81, 82syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
8466, 83eqbrtrd 4200 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ) )
85 nn0cn 10195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
8685adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  CC )
87 pncan 9275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8886, 28, 87sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( b  +  1 )  -  1 )  =  b )
8988oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( A Yrm  b ) )
9053fovcl 6142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
9190zred 10339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
9249, 51, 91syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  e.  RR )
9389, 92eqeltrd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  e.  RR )
94 remulcl 9039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9556, 42, 94sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  e.  RR )
9641, 56remulcld 9080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  e.  RR )
97 nn0re 10194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
9897adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  e.  RR )
9998lep1d 9906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
b  <_  ( b  +  1 ) )
100 lermy 26918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ  /\  ( b  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
b  <_  ( b  +  1 )  <->  ( A Yrm  b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10149, 51, 52, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( b  <_  (
b  +  1 )  <-> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
10299, 101mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  b )  <_ 
( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
10356recnd 9078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  e.  CC )
104103mulid1d 9069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
105102, 89, 1043brtr4d 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  - 
1 ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )
10693, 95, 96, 105lesub2dd 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  <_  ( (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
10741recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( 2  x.  A
)  e.  CC )
10828a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
1  e.  CC )
109103, 107, 108subdid 9453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
110103, 107mulcomd 9073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) ) )
111110oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( 2  x.  A ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  (
( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
112109, 111eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  1 ) ) )
113 rmyluc2 26899 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
11449, 52, 113syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  -  1 ) ) ) )
115106, 112, 1143brtr4d 4210 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  -> 
( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1161153adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  x.  (
( 2  x.  A
)  -  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
11748, 58, 63, 84, 116letrd 9191 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ ( b  +  1 ) )  <_ 
( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) )
1181173exp 1152 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^
( b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
119118a2d 24 . . 3  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ b )  <_  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  ->  ( ( ( 2  x.  A )  - 
1 ) ^ (
b  +  1 ) )  <_  ( A Yrm  ( ( b  +  1 )  +  1 ) ) ) ) )
1205, 10, 15, 20, 36, 119nn0ind 10330 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
( 2  x.  A
)  -  1 ) ^ N )  <_ 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
121120impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( 2  x.  A )  -  1 ) ^ N )  <_  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ^cexp 11345   Yrm crmy 26862
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  26986
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
  Copyright terms: Public domain W3C validator