Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Unicode version

Theorem jm2.17c 27152
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 9831 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
2 eluzelre 10255 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
4 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  RR )
51, 3, 4sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  RR )
6 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
76adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
87peano2zd 10136 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
9 frmy 27102 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
109fovcl 5965 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  ZZ )
1110zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR )
128, 11syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  e.  RR )
135, 12remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  e.  RR )
14 nncn 9770 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
1514adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
16 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
17 pncan 9073 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
1918oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( A Yrm  N ) )
209fovcl 5965 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
2120zred 10133 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
226, 21sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  e.  RR )
2413, 23resubcld 9227 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
25 nnnn0 9988 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2625adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
275, 26reexpcld 11278 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  RR )
285, 27remulcld 8879 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) )  e.  RR )
29 rmy0 27117 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
3029adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
31 nngt0 9791 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
3231adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
33 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
34 0z 10051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
36 ltrmy 27142 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3733, 35, 7, 36syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
3832, 37mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
3930, 38eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
4039, 19breqtrrd 4065 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
4123, 13ltsubposd 9374 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  <->  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) )  <  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) ) ) )
4240, 41mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) ) )
43 jm2.17b 27151 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
4425, 43sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  (
( 2  x.  A
) ^ N ) )
45 2nn 9893 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
46 eluz2b2 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
4746simplbi 446 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
48 nnmulcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN )  ->  ( 2  x.  A
)  e.  NN )
4945, 47, 48sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 2  x.  A )  e.  NN )
5049nngt0d 9805 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <  ( 2  x.  A ) )
5150adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( 2  x.  A
) )
52 lemul2 9625 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  A )  e.  RR  /\  0  <  ( 2  x.  A
) ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  +  1 ) )  <_  ( ( 2  x.  A ) ^ N )  <->  ( (
2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  ( (
2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) ) )
5312, 27, 5, 51, 52syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  + 
1 ) )  <_ 
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  <->  ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  <_  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) ) )
5444, 53mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
)  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  <_  (
( 2  x.  A
)  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N ) ) )
5524, 13, 28, 42, 54ltletrd 8992 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )  <  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
56 rmyluc2 27126 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  + 
1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) ) )
578, 56syldan 456 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  ( A Yrm  ( N  +  1 ) ) )  -  ( A Yrm  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
585recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
2  x.  A )  e.  CC )
5958, 26expp1d 11262 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  A ) ^ N )  x.  ( 2  x.  A
) ) )
6027recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ N )  e.  CC )
6160, 58mulcomd 8872 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( 2  x.  A ) ^ N
)  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6259, 61eqtrd 2328 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  A )  x.  ( ( 2  x.  A ) ^ N
) ) )
6355, 57, 623brtr4d 4069 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <  (
( 2  x.  A
) ^ ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120   Yrm crmy 27089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
  Copyright terms: Public domain W3C validator