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Theorem jm2.19 27189
Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )

Proof of Theorem jm2.19
StepHypRef Expression
1 rmyeq0 27143 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
213adant2 974 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
3 0dvds 12565 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
433ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
5 frmy 27102 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
65fovcl 5965 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
763adant2 974 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
8 0dvds 12565 . . . . . 6  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( 0  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  N
)  =  0 ) )
97, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  ( A Yrm  N
)  <->  ( A Yrm  N )  =  0 ) )
102, 4, 93bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  ||  N  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( 0  ||  N  <->  0 
||  ( A Yrm  N ) ) )
12 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  M  =  0 )
1312breq1d 4049 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  0 
||  N ) )
1412oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  0 ) )
15 simpl1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
16 rmy0 27117 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  0 )  =  0 )
1814, 17eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( A Yrm  M )  =  0 )
1918breq1d 4049 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <->  0  ||  ( A Yrm  N ) ) )
2011, 13, 193bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =  0 )  -> 
( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N ) ) )
215fovcl 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
22213adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
23 dvds0 12560 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( A Yrm  M )  ||  0 )
2422, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  0
)
25163ad2ant1 976 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2624, 25breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  0 ) )
27 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  0 ) )
2827breq2d 4051 . . . . . 6  |-  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  0 ) ) )
2926, 28syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
3029adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  ->  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
31 zre 10044 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
32313ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
3332ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  RR )
34 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
35343ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  CC )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  CC )
37 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  =/=  0 )
3836, 37absrpcld 11946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
39 modlt 10997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
4033, 38, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M ) )
41 simpll1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
42 simpll3 996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
43 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  M  e.  ZZ )
44 nnabscl 11825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  -> 
( abs `  M
)  e.  NN )
4543, 37, 44syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN )
4642, 45zmodcld 11006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0 )
47 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
48473ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( abs `  M )  e. 
NN0 )
4948ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  M )  e.  NN0 )
50 ltrmynn0 27138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  NN0  /\  ( abs `  M
)  e.  NN0 )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M ) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5141, 46, 49, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  <  ( abs `  M )  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) ) )
5240, 51mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
5346nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )
54 rmyabs 27148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5541, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) ) )
5633, 38modcld 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
57 modge0 10996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( abs `  M )  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5833, 38, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  0  <_  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
5956, 58absidd 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )
6059oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( abs `  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
6155, 60eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
62 rmyabs 27148 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6341, 43, 62syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
6452, 61, 633brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  < 
( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
655fovcl 5965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  ZZ )
6641, 53, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ )
67 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  NN0 )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e. 
NN0 )
6968nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  e.  RR )
7022ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
71 nn0abscl 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  e. 
NN0 )
7270, 71syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  NN0 )
7372nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
7469, 73ltnled 8982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )  <  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
7564, 74mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
76 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)
77 rmyeq0 27143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7841, 53, 77syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0  <-> 
( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  0 ) )
7978necon3bid 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0  <->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 ) )
8076, 79mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )
81 dvdsleabs2 27180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =/=  0 )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  <_ 
( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8270, 66, 80, 81syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  <_  ( abs `  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) ) )
8375, 82mtod 168 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0
)  /\  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =/=  0
)  ->  -.  ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )
8483ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =/=  0  ->  -.  ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
8584necon4ad 2520 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
8630, 85impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  mod  ( abs `  M ) )  =  0  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
87 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  ZZ )
88 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
89 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  =/=  0 )
90 dvdsabsmod0 27182 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  0 ) )
92 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9332adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  RR )
94 zre 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
95943ad2ant2 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
9695adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  RR )
97 modabsdifz 27181 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9893, 96, 89, 97syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
9998znegcld 10135 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )
100 jm2.19lem4 27188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) ) ) )
10192, 87, 88, 99, 100syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
10232recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
103102adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  N  e.  CC )
10435adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  M  e.  CC )
105104, 89absrpcld 11946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( abs `  M )  e.  RR+ )
10693, 105modcld 10993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  RR )
107106recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  e.  CC )
108103, 107subcld 9173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  e.  CC )
109108, 104, 89divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  e.  CC )
110109, 104mulneg1d 9248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M
)  x.  M ) )
111110oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  ( -u (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  +  -u (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
112109, 104mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  e.  CC )
113103, 112negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  +  -u ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) ) )
114108, 104, 89divcan1d 9553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M )  =  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) ) )
115114oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
116103, 107nncand 9178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
117115, 116eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  -  ( (
( N  -  ( N  mod  ( abs `  M
) ) )  /  M )  x.  M
) )  =  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )
118111, 113, 1173eqtrrd 2333 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( N  mod  ( abs `  M
) )  =  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) )
119118oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) )
120119breq2d 4051 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( -u ( ( N  -  ( N  mod  ( abs `  M ) ) )  /  M )  x.  M ) ) ) ) )
121101, 120bitr4d 247 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  mod  ( abs `  M ) ) ) ) )
12286, 91, 1213bitr4d 276 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  M  =/=  0 )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
12320, 122pm2.61dane 2537 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  ||  N  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  N
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370    mod cmo 10989   abscabs 11735    || cdivides 12547   Yrm crmy 27089
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  27193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
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