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Theorem jm2.19lem3 27053
Description: Lemma for jm2.19 27055. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.19lem3
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  M )  =  ( 0  x.  M ) )
21oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) )
32oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) ) )
43breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) ) ) )
54bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) ) )
65imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) ) ) )
7 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  M )  =  ( b  x.  M ) )
87oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( b  x.  M ) ) )
98oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) )
109breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )
1110bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) ) )
1211imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) ) ) )
13 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  M )  =  ( ( b  +  1 )  x.  M ) )
1413oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) )
1514oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) )
1615breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
1716bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) ) )
1817imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) ) ) )
19 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  M )  =  ( I  x.  M ) )
2019oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  ( N  +  ( a  x.  M ) )  =  ( N  +  ( I  x.  M ) ) )
2120oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) )
2221breq2d 4216 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
2322bibi2d 310 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M
) ) ) )  <-> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
2423imbi2d 308 . . . 4  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( a  x.  M ) ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) ) )
25 zcn 10279 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2625ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
2726mul02d 9256 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  x.  M
)  =  0 )
2827oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( N  +  ( 0  x.  M ) )  =  ( N  +  0 ) )
29 zcn 10279 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3029ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
3130addid1d 9258 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( N  +  0 )  =  N )
3228, 31eqtr2d 2468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  =  ( N  +  ( 0  x.  M ) ) )
3332oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A Yrm  N )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) )
3433breq2d 4216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( 0  x.  M
) ) ) ) )
35 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) ) ) )
36 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
37 simprrl 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
38 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
39 nn0z 10296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
4140, 37zmulcld 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  M )  e.  ZZ )
4238, 41zaddcld 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( N  +  ( b  x.  M ) )  e.  ZZ )
43 jm2.19lem2 27052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( b  x.  M ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) ) ) )
4436, 37, 42, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) ) ) )
4538zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  CC )
4641zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  M )  e.  CC )
4737zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
4845, 46, 47addassd 9102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M )  =  ( N  +  ( ( b  x.  M )  +  M
) ) )
49 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
51 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
5350, 52, 47adddird 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  M )  =  ( ( b  x.  M )  +  ( 1  x.  M
) ) )
5447mulid2d 9098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  M )  =  M )
5554oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  x.  M
)  +  ( 1  x.  M ) )  =  ( ( b  x.  M )  +  M ) )
5653, 55eqtr2d 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  x.  M
)  +  M )  =  ( ( b  +  1 )  x.  M ) )
5756oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( N  +  ( (
b  x.  M )  +  M ) )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) )
5848, 57eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M )  =  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) )
5958oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M
) )  +  M
) )  =  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) )
6059breq2d 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( b  x.  M ) )  +  M ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
6144, 60bitrd 245 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) )
62613adant3 977 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) )
6335, 62bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  NN0  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M
) ) ) ) )
64633exp 1152 . . . . 5  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) ) ) )
6564a2d 24 . . . 4  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( b  x.  M ) ) ) ) )  -> 
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  ||  ( A Yrm 
N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( ( b  +  1 )  x.  M ) ) ) ) ) ) )
666, 12, 18, 24, 34, 65nn0ind 10358 . . 3  |-  ( I  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
6766com12 29 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
68673impia 1150 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480    || cdivides 12844   Yrm crmy 26955
This theorem is referenced by:  jm2.19lem4  27054
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-numer 13119  df-denom 13120  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-squarenn 26895  df-pell1qr 26896  df-pell14qr 26897  df-pell1234qr 26898  df-pellfund 26899  df-rmx 26956  df-rmy 26957
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