Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19lem4 Unicode version

Theorem jm2.19lem4 26748
Description: Lemma for jm2.19 26749. Extend to ZZ by symmetry. TODO: use zindbi 26694. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19lem4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.19lem4
StepHypRef Expression
1 elznn0 10222 . . 3  |-  ( I  e.  ZZ  <->  ( I  e.  RR  /\  ( I  e.  NN0  \/  -u I  e.  NN0 ) ) )
2 jm2.19lem3 26747 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
323expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  ->  (
I  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) ) )
5 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
6 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
76ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
8 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
98ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
10 nn0z 10230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u I  e.  NN0  ->  -u I  e.  ZZ )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  -u I  e.  ZZ )
12 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  I  e.  RR )
1312recnd 9041 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  I  e.  CC )
14 znegclb 10240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  e.  CC  ->  (
I  e.  ZZ  <->  -u I  e.  ZZ ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
I  e.  ZZ  <->  -u I  e.  ZZ ) )
1611, 15mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  I  e.  ZZ )
1716, 7zmulcld 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
I  x.  M )  e.  ZZ )
189, 17zaddcld 10305 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( I  x.  M ) )  e.  ZZ )
19 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  -u I  e.  NN0 )
20 jm2.19lem3 26747 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  ( I  x.  M ) )  e.  ZZ )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( I  x.  M ) )  +  ( -u I  x.  M )
) ) ) )
215, 7, 18, 19, 20syl121anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( I  x.  M ) )  +  ( -u I  x.  M )
) ) ) )
22 zcn 10213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2322ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  CC )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  M  e.  CC )
2513, 24mulneg1d 9412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  ( -u I  x.  M )  =  -u ( I  x.  M ) )
2625oveq2d 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( I  x.  M ) )  +  ( -u I  x.  M )
)  =  ( ( N  +  ( I  x.  M ) )  +  -u ( I  x.  M ) ) )
27 zcn 10213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2827ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  CC )
2928ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
3013, 24mulcld 9035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
I  x.  M )  e.  CC )
3129, 30addcld 9034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  ( N  +  ( I  x.  M ) )  e.  CC )
3231, 30negsubd 9343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( I  x.  M ) )  +  -u (
I  x.  M ) )  =  ( ( N  +  ( I  x.  M ) )  -  ( I  x.  M ) ) )
3329, 30pncand 9338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( I  x.  M ) )  -  ( I  x.  M ) )  =  N )
3426, 32, 333eqtrd 2417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  ( I  x.  M ) )  +  ( -u I  x.  M )
)  =  N )
3534oveq2d 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( ( N  +  ( I  x.  M
) )  +  (
-u I  x.  M
) ) )  =  ( A Yrm  N ) )
3635breq2d 4159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( ( N  +  ( I  x.  M ) )  +  ( -u I  x.  M ) ) )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N ) ) )
3721, 36bitr2d 246 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  /\  -u I  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
3837ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  ->  ( -u I  e.  NN0  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) ) )
394, 38jaod 370 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  RR )  ->  (
( I  e.  NN0  \/  -u I  e.  NN0 )  ->  ( ( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) ) )
4039expimpd 587 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( I  e.  RR  /\  ( I  e.  NN0  \/  -u I  e.  NN0 ) )  -> 
( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
411, 40syl5bi 209 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( I  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  M ) 
||  ( A Yrm  N )  <-> 
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M
) ) ) ) ) )
42413impia 1150 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  M )  ||  ( A Yrm  N )  <->  ( A Yrm  M
)  ||  ( A Yrm  ( N  +  ( I  x.  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717   class class class wbr 4147   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   CCcc 8915   RRcr 8916    + caddc 8920    x. cmul 8922    - cmin 9217   -ucneg 9218   2c2 9975   NN0cn0 10147   ZZcz 10208   ZZ>=cuz 10414    || cdivides 12773   Yrm crmy 26649
This theorem is referenced by:  jm2.19  26749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-omul 6659  df-er 6835  df-map 6950  df-pm 6951  df-ixp 6994  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-acn 7756  df-cda 7975  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-ioo 10846  df-ioc 10847  df-ico 10848  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-fl 11123  df-mod 11172  df-seq 11245  df-exp 11304  df-fac 11488  df-bc 11515  df-hash 11540  df-shft 11803  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-limsup 12186  df-clim 12203  df-rlim 12204  df-sum 12401  df-ef 12591  df-sin 12593  df-cos 12594  df-pi 12596  df-dvds 12774  df-gcd 12928  df-numer 13048  df-denom 13049  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-hom 13474  df-cco 13475  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-pt 13589  df-prds 13592  df-xrs 13647  df-0g 13648  df-gsum 13649  df-qtop 13654  df-imas 13655  df-xps 13657  df-mre 13732  df-mrc 13733  df-acs 13735  df-mnd 14611  df-submnd 14660  df-mulg 14736  df-cntz 15037  df-cmn 15335  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-fbas 16617  df-fg 16618  df-cnfld 16621  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-cld 17000  df-ntr 17001  df-cls 17002  df-nei 17079  df-lp 17117  df-perf 17118  df-cn 17207  df-cnp 17208  df-haus 17295  df-tx 17509  df-hmeo 17702  df-fil 17793  df-fm 17885  df-flim 17886  df-flf 17887  df-xms 18253  df-ms 18254  df-tms 18255  df-cncf 18773  df-limc 19614  df-dv 19615  df-log 20315  df-squarenn 26589  df-pell1qr 26590  df-pell14qr 26591  df-pell1234qr 26592  df-pellfund 26593  df-rmx 26650  df-rmy 26651
  Copyright terms: Public domain W3C validator