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Theorem jm2.20nn 27090
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )

Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
323ad2ant3 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
4 frmy 26999 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
76zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  CC )
98sqvald 11242 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10 zsqcl 11174 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
116, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  e.  ZZ )
1211adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
13 frmx 26998 . . . . . . . . . . . 12  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1413fovcl 5949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
151, 3, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615nn0zd 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
1716adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Xrm  N )  e.  ZZ )
187sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
1918adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
2119, 20eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
22 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
23223ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
244fovcl 5949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
251, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
26 muldvds1 12553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
276, 6, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm  M )  ->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
2827adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( A Yrm 
M )  ->  ( A Yrm 
N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
2921, 28mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm  M ) )
30 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
313adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  ZZ )
3223adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  ZZ )
33 jm2.19 27086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( A Yrm  M
) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( A Yrm  N )  ||  ( A Yrm 
M ) ) )
3529, 34mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  ||  M )
36 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  M  e.  NN )
37 simpl3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  e.  NN )
38 nndivdvds 12537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  ||  M  <->  ( M  /  N )  e.  NN ) )
4035, 39mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  NN )
41 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  /  N )  e.  NN  ->  (
( M  /  N
)  -  1 )  e.  NN0 )
4240, 41syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
43 zexpcl 11118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
4417, 42, 43syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4540nnzd 10116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  ZZ )
466adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )
4825adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
49 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  CC )
50493ad2ant2 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  M  e.  CC )
51 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
52513ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  CC )
53 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
54533ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  N  =/=  0 )
5550, 52, 54divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
5655oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
5756, 25eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  e.  ZZ )
5857adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  e.  ZZ )
5944, 46zmulcld 10123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
6045, 59zmulcld 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
6158, 60zsubcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
62 3nn0 9983 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  NN0
6362a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  NN0 )
64 zexpcl 11118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
656, 63, 64syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
6665adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )
67 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  NN0
6867a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  2  e.  NN0 )
6962nn0zi 10048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ZZ
70 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR
71 3re 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  RR
72 2lt3 9887 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  <  3
7370, 71, 72ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <_  3
74 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
7574eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 3  e.  ZZ  /\  2  <_ 
3 ) )
7669, 73, 75mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
78 dvdsexp 12584 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  2  e. 
NN0  /\  3  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
796, 68, 77, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )
8079adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )
81 jm2.23 27089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8230, 31, 40, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
83 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8483imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
8512, 66, 61, 80, 82, 84syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
86 dvds2sub 12561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) ) )
8786imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8812, 48, 61, 20, 85, 87syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
8955adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( M  /  N ) )  =  M )
9089oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N
) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
9190oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
9291oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  (
( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
9325zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
9560zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  CC )
9694, 95nncand 9162 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
9745zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( M  /  N
)  e.  CC )
9844zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  e.  CC )
9997, 98, 8mul12d 9021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( M  /  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  M )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10192, 100eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  M )  -  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )  -  ( ( M  /  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
10288, 101breqtrd 4047 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
103 gcdcom 12699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
1046, 16, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  ( ( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) ) )
105 jm2.19lem1 27082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
1061, 3, 105syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N )  gcd  ( A Yrm  N ) )  =  1 )
107104, 106eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
108107adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1 )
10967a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
2  e.  NN0 )
110 rpexp12i 12801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( 2  e.  NN0  /\  ( ( M  /  N )  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 ) )
11146, 17, 109, 42, 110syl112anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  gcd  ( A Xrm  N ) )  =  1  ->  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) ) )  =  1 ) )
112108, 111mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 )
113 coprmdvds 12781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( M  /  N
)  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  gcd  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  - 
1 ) ) )  =  1 )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
114113imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ )  /\  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( M  /  N )  -  1 ) )  x.  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  gcd  (
( A Xrm  N ) ^
( ( M  /  N )  -  1 ) ) )  =  1 ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
11512, 44, 47, 102, 112, 114syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  ( ( M  /  N )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
117 rmy0 27014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
1181173ad2ant1 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
119 nngt0 9775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
1201193ad2ant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  N )
121 0z 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  ZZ
122121a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  e.  ZZ )
123 ltrmy 27039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
1241, 122, 3, 123syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
0  <  N  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  N ) ) )
125120, 124mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
N ) )
126118, 125eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  0  <  ( A Yrm  N ) )
127 elnnz 10034 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  <->  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  0  < 
( A Yrm  N ) ) )
1286, 126, 127sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  NN )
129 nnne0 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( A Yrm  N )  =/=  0 )
130128, 129syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =/=  0
)
131130adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  =/=  0 )
132 dvdsmulcr 12558 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13346, 45, 46, 131, 132syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  (
( M  /  N
)  x.  ( A Yrm  N ) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
134116, 133mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( A Yrm  N )  ||  ( M  /  N
) )
13554adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  ->  N  =/=  0 )
136 dvdscmulr 12557 . . . . 5  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( M  /  N )  e.  ZZ  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
13746, 45, 31, 135, 136syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  ( N  x.  ( M  /  N
) )  <->  ( A Yrm  N
)  ||  ( M  /  N ) ) )
138134, 137mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  ( N  x.  ( M  /  N ) ) )
139138, 89breqtrd 4047 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( N  x.  ( A Yrm 
N ) )  ||  M )
14011adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  e.  ZZ )
1413, 6zmulcld 10123 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )
1424fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
1431, 141, 142syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
144143adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ )
14525adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  M
)  e.  ZZ )
146 nnm1nn0 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Yrm  N )  e.  NN  ->  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e. 
NN0 )
147128, 146syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  - 
1 )  e.  NN0 )
148 zexpcl 11118 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N )  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
14916, 147, 148syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ )
150 dvdsmul2 12551 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
151149, 11, 150syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) ) )
15218oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
153149zcnd 10118 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  e.  CC )
154153, 7, 7mul12d 9021 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
155152, 154eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
156151, 155breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
157149, 6zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
1586, 157zmulcld 10123 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )
159143, 158zsubcld 10122 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  e.  ZZ )
160 jm2.23 27089 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  N )  e.  NN )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) 
||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ (
( A Yrm  N )  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
1611, 3, 128, 160syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
162 dvdstr 12562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )
163162imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16411, 65, 159, 79, 161, 163syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  ( ( A Yrm  N )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
165 dvdssub2 12566 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  -  (
( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
16611, 143, 158, 164, 165syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  <->  ( ( A Yrm  N ) ^ 2 ) 
||  ( ( A Yrm  N )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( ( A Yrm  N )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
167156, 166mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) )
168167adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )
169 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M )
170 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
171141adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
17223adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  M  e.  ZZ )
173 jm2.19 27086 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N ) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
174170, 171, 172, 173syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M  <->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) 
||  ( A Yrm  M ) ) )
175169, 174mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) )
176 dvdstr 12562 . . . 4  |-  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm 
M ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) ) )
177176imp 418 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) )  ||  ( A Yrm  M ) ) )  -> 
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
178140, 144, 145, 168, 175, 177syl32anc 1190 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  /\  ( N  x.  ( A Yrm  N
) )  ||  M
)  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M ) )
179139, 178impbida 805 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  M )  <->  ( N  x.  ( A Yrm  N ) ) 
||  M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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