Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.22 Unicode version

Theorem jm2.22 27191
Description: Lemma for jm2.20nn 27193. Applying binomial theorem and taking irrational part. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
jm2.22  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, i, x    i, N, x    i, J, x

Proof of Theorem jm2.22
StepHypRef Expression
1 nn0z 10062 . . . . 5  |-  ( J  e.  NN0  ->  J  e.  ZZ )
2 jm2.21 27190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
31, 2syl3an3 1217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
) )
4 frmx 27101 . . . . . . . 8  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
54fovcl 5965 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
653adant3 975 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
76nn0cnd 10036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
8 eluzelz 10254 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
9 zsqcl 11190 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
10 peano2zm 10078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
12113ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
1312zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
1413sqrcld 11935 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
15 frmy 27102 . . . . . . . . 9  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
1615fovcl 5965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
17163adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
1817zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
1914, 18mulcld 8871 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
20 simp3 957 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  NN0 )
21 binom 12304 . . . . 5  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC  /\  J  e.  NN0 )  -> 
( ( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ^ J
)  =  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
227, 19, 20, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  N )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ) ^ J )  = 
sum_ i  e.  ( 0 ... J ) ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) ) )
23 rabnc 3491 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/)
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( { x  e.  (
0 ... J )  |  2  ||  x }  i^i  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  =  (/) )
25 rabxm 3490 . . . . . . 7  |-  ( 0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } )
2625a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  =  ( { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  u.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x } ) )
27 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
0 ... J )  e. 
Fin )
28 simpl3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  J  e.  NN0 )
29 elfzelz 10814 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  ZZ )
3029adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  ZZ )
31 bccl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  NN0 )
3231nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  i
)  e.  ZZ )
3328, 30, 32syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
3433zcnd 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
356nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3635adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
3736zcnd 10134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
38 fznn0sub 10840 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
3938adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( J  -  i )  e.  NN0 )
4037, 39expcld 11261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  CC )
4112adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
4241zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
4342sqrcld 11935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  CC )
4417adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
4544zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
4643, 45mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  CC )
47 elfznn0 10838 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  NN0 )
4847adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  NN0 )
4946, 48expcld 11261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  e.  CC )
5040, 49mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) )  e.  CC )
5134, 50mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  CC )
5224, 26, 27, 51fsumsplit 12228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) ) )
53 fzfi 11050 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
54 ssrab2 3271 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  C_  (
0 ... J )
55 ssfi 7099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { x  e.  (
0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
5653, 54, 55mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin
5756a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  e.  Fin )
58 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  (
2  ||  x  <->  2  ||  i ) )
5958notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  ( -.  2  ||  x  <->  -.  2  ||  i ) )
6059elrab 2936 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  i ) )
6134adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  CC )
6240adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  CC )
63 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6417, 47, 63syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  ZZ )
6564zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
i )  e.  CC )
6665adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  CC )
6742adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
6829adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  ZZ )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  i )
70 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
7170a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  1  e.  ZZ )
72 2prm 12790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  Prime
73 nprmdvds1 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  Prime  ->  -.  2  ||  1 )
7472, 73ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -.  2  ||  1
7574a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  2  ||  1 )
76 omoe 12881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( i  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  i
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
7768, 69, 71, 75, 76syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  ||  (
i  -  1 ) )
78 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  ZZ
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  ZZ )
80 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
8180a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  =/=  0
)
82 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8329, 82syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  ZZ )
8483adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  ZZ )
85 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
i  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
i  -  1 )  <-> 
( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
8679, 81, 84, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( 2  ||  ( i  -  1 )  <->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ ) )
8777, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  ZZ )
8883zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  RR )
8988adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  RR )
90 dvds0 12560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
9178, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  0
92 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  0  ->  (
2  ||  i  <->  2  ||  0 ) )
9391, 92mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  0  ->  2  ||  i )
9493con3i 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  2  ||  i  ->  -.  i  =  0
)
9594adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  -.  i  = 
0 )
9647adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN0 )
97 elnn0 9983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  e.  NN0  <->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
9896, 97sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  e.  NN  \/  i  =  0 ) )
99 orel2 372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -.  i  =  0  -> 
( ( i  e.  NN  \/  i  =  0 )  ->  i  e.  NN ) )
10095, 98, 99sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  i  e.  NN )
101 nnm1nn0 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN  ->  (
i  -  1 )  e.  NN0 )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( i  - 
1 )  e.  NN0 )
103102nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
i  -  1 ) )
104 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR
105104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  2  e.  RR )
106 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  2
107106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <  2
)
108 divge0 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( i  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( i  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
i  -  1 )  /  2 ) )
10989, 103, 105, 107, 108syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  0  <_  (
( i  -  1 )  /  2 ) )
110 elnn0z 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( i  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) )
11187, 109, 110sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i )  ->  ( ( i  -  1 )  / 
2 )  e.  NN0 )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
i  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0 )
11367, 112expcld 11261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  CC )
11466, 113mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
11562, 114mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  CC )
11661, 115mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11760, 116sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
11857, 14, 117fsummulc2 12262 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
11943adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  CC )
120119, 61, 115mul12d 9037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
121119, 62, 114mul12d 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
12243, 48expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  e.  CC )
123122adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  e.  CC )
12466, 123mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
125119, 66, 113mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
126 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  NN0
127126a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
128119, 112, 127expmuld 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) )
12983zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  (
i  -  1 )  e.  CC )
130129ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( i  -  1 )  e.  CC )
131 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  e.  CC
132131a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  e.  CC )
13380a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  2  =/=  0 )
134130, 132, 133divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( 2  x.  ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( i  -  1 ) )
135134oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
( 2  x.  (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
13667sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
137136oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )
138128, 135, 1373eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) ) )
139138oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
140119, 113mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ) )
141100adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN )
142 expm1t 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC  /\  i  e.  NN )  ->  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  - 
1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
143119, 141, 142syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ) ^
i )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( i  -  1 ) )  x.  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ) )
144139, 140, 1433eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) )
145144oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
146125, 145eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i ) ) )
14743, 45, 48mulexpd 11276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
148147adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
)  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
149124, 146, 1483eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )
151121, 150eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
153120, 152eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
15460, 153sylan2b 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) ) )
155154sumeq2dv 12192 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  x.  ( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( i  - 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )
156118, 155eqtr2d 2329 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
157156oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
15852, 157eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  ( 0 ... J
) ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  =  (
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
1593, 22, 1583eqtrd 2332 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J ) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) ) )
160 rmspecsqrnq 27094 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
1611603ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) )  e.  ( CC  \  QQ ) )
162 nn0ssq 10340 . . . . 5  |-  NN0  C_  QQ
163 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
164 simp2 956 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
16513ad2ant3 978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  J  e.  ZZ )
166164, 165zmulcld 10139 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( N  x.  J )  e.  ZZ )
1674fovcl 5965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
168163, 166, 167syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  NN0 )
169162, 168sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Xrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
170 zssq 10339 . . . . 5  |-  ZZ  C_  QQ
17115fovcl 5965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  x.  J )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
172163, 166, 171syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  ZZ )
173170, 172sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )
174 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J )
175 ssfi 7099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  C_  ( 0 ... J
) )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17653, 174, 175mp2an 653 . . . . . . 7  |-  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin
177176a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  e.  Fin )
17858elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  2  ||  x }  <->  ( i  e.  ( 0 ... J
)  /\  2  ||  i ) )
17933adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
180 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  i )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
18136, 39, 180syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  e.  ZZ )
182181adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  e.  ZZ )
18343adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  CC )
18445adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
18547ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  e.  NN0 )
186183, 184, 185mulexpd 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
18729zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 0 ... J )  ->  i  e.  CC )
188187adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  e.  CC )
189131a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  e.  CC )
19080a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  2  =/=  0 )
191188, 189, 190divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
2  x.  ( i  /  2 ) )  =  i )
192191eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  ( 0 ... J
) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2
) ) )
193192adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  i  =  ( 2  x.  ( i  /  2 ) ) )
194193oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ ( 2  x.  ( i  /  2
) ) ) )
19578a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  e.  ZZ )
19680a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  2  =/=  0 )
197 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  ZZ )
198 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  i  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
199195, 196, 197, 198syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( 2 
||  i  <->  ( i  /  2 )  e.  ZZ ) )
200199biimpa 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  ZZ )
201 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
202201adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
i  e.  RR )
203 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  NN0  ->  0  <_ 
i )
204203adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  i )
205104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
2  e.  RR )
206106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <  2 )
207 divge0 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( i  e.  RR  /\  0  <_  i )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  0  <_  ( i  /  2 ) )
208202, 204, 205, 206, 207syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
0  <_  ( i  /  2 ) )
209 elnn0z 10052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( i  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( i  /  2
) ) )
210200, 208, 209sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
21147, 210sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i )  -> 
( i  /  2
)  e.  NN0 )
212211adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( i  / 
2 )  e.  NN0 )
213126a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  2  e.  NN0 )
214183, 212, 213expmuld 11264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ (
2  x.  ( i  /  2 ) ) )  =  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
21542adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
216215sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )
217216oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ 2 ) ^
( i  /  2
) )  =  ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( i  /  2 ) ) )
218194, 214, 2173eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) ) ^ i
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) ) )
219218oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ) ^ i )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
220186, 219eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) ) )
221 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( i  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
i  /  2 ) )  e.  ZZ )
22212, 211, 221syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( i  /  2
) )  e.  ZZ )
22364adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm  N ) ^ i )  e.  ZZ )
224222, 223zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( i  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ i ) )  e.  ZZ )
225220, 224eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i )  e.  ZZ )
226182, 225zmulcld 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) )  e.  ZZ )
227179, 226zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
228178, 227sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i
) ) )  e.  ZZ )
229177, 228fsumzcl 12224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  ZZ )
230170, 229sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ )
23133adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( J  _C  i )  e.  ZZ )
232181adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Xrm 
N ) ^ ( J  -  i )
)  e.  ZZ )
23364adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( A Yrm 
N ) ^ i
)  e.  ZZ )
234 zexpcl 11134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( i  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
23512, 111, 234syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
236233, 235zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  ZZ )
237232, 236zmulcld 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) )  e.  ZZ )
238231, 237zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  (
i  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  i ) )  ->  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
23960, 238sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN0 )  /\  i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x } )  ->  (
( J  _C  i
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  i
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ i )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
24057, 239fsumzcl 12224 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
241170, 240sseldi 3191 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ )
242 qirropth 27096 . . . 4  |-  ( ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  e.  ( CC 
\  QQ )  /\  ( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  e.  QQ  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  e.  QQ )  /\  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  e.  QQ  /\ 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  e.  QQ ) )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
243161, 169, 173, 230, 241, 242syl122anc 1191 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  +  ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  ( N  x.  J
) ) ) )  =  ( sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ^ i ) ) )  +  ( ( sqr `  (
( A ^ 2 )  -  1 ) )  x.  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) ) )
244159, 243mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  ( N  x.  J ) )  = 
sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  2  ||  x } 
( ( J  _C  i )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( sqr `  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) ^
i ) ) )  /\  ( A Yrm  ( N  x.  J ) )  =  sum_ i  e.  {
x  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ i
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
245244simprd 449 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ i  e.  { x  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  x }  ( ( J  _C  i )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  i )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
i )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( i  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   ...cfz 10798   ^cexp 11120    _C cbc 11331   sqrcsqr 11734   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Primecprime 12774   Xrm crmx 27088   Yrm crmy 27089
This theorem is referenced by:  jm2.23  27192
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
  Copyright terms: Public domain W3C validator