Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.23 Unicode version

Theorem jm2.23 26965
Description: Lemma for jm2.20nn 26966. Truncate binomial expansion p-adicly. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.23  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.23
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfi 11274 . . . . . 6  |-  ( 3 ... J )  e. 
Fin
2 ssrab2 3396 . . . . . 6  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J
)
3 ssfi 7296 . . . . . 6  |-  ( ( ( 3 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 3 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
41, 2, 3mp2an 654 . . . . 5  |-  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
6 nnnn0 10192 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  NN0 )
763ad2ant3 980 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  NN0 )
82sseli 3312 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
9 elfzelz 11023 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
11 bccl 11576 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  a
)  e.  NN0 )
127, 10, 11syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
1312nn0zd 10337 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  ZZ )
14 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
15 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  N  e.  ZZ )
16 frmx 26874 . . . . . . . . . 10  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1716fovcl 6142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1814, 15, 17syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1918nn0zd 10337 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
208adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 3 ... J
) )
21 fznn0sub 11049 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
2220, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
23 zexpcl 11359 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( J  -  a )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  ZZ )
25 rmspecnonsq 26868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2625eldifad 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2726nnzd 10338 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ )
28273ad2ant1 978 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
29 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  a  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  a ) )
3029notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  a  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  a ) )
3130elrab 3060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
3231simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
33 1z 10275 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
35 0z 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  ZZ
36 2nn 10097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  NN
37 1lt2 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  <  2
3835, 36, 373pm3.2i 1132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )
39 2z 10276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ZZ
40 dvds0 12828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  ||  0
42 ndvdsp1 12892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  ||  0  ->  -.  2  ||  ( 0  +  1 ) ) )
4338, 41, 42mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  ||  ( 0  +  1 )
44 0p1e1 10057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  +  1 )  =  1
4544breq2i 4188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2 
||  ( 0  +  1 )  <->  2  ||  1 )
4643, 45mtbi 290 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  2  ||  1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
48 omoe 13149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  ZZ  /\ 
-.  2  ||  a
)  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  -.  2  ||  1 ) )  ->  2  ||  (
a  -  1 ) )
4910, 32, 34, 47, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
5039a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
51 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =/=  0
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
53 peano2zm 10284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ZZ  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
5410, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
55 dvdsval2 12818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
a  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
a  -  1 )  <-> 
( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
5650, 52, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
5749, 56mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
5854zred 10339 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
59 0re 9055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
6059a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  e.  RR )
61 3re 10035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  3  e.  RR
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  RR )
639zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  RR )
64 3pos 10048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  3
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  3 )
66 elfzle1 11024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  a )
6760, 62, 63, 65, 66ltletrd 9194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <  a )
68 elnnz 10256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  e.  ZZ  /\  0  < 
a ) )
699, 67, 68sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  NN )
70 nnm1nn0 10225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
7271nn0ge0d 10241 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
738, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
74 2re 10033 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
76 2pos 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  2
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
78 divge0 9843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  - 
1 )  e.  RR  /\  0  <_  ( a  -  1 ) )  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  -> 
0  <_  ( (
a  -  1 )  /  2 ) )
7958, 73, 75, 77, 78syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
80 elnn0z 10258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0  <->  ( ( ( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) )
8157, 79, 80sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
82 zexpcl 11359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
8328, 81, 82syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
84 frmy 26875 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
8584fovcl 6142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
8614, 15, 85syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
87 elfzel1 11022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  3  e.  ZZ )
889, 87zsubcld 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  ZZ )
89 subge0 9505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( 0  <_  (
a  -  3 )  <->  3  <_  a )
)
9063, 61, 89sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
0  <_  ( a  -  3 )  <->  3  <_  a ) )
9166, 90mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  0  <_  ( a  -  3 ) )
92 elnn0z 10258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  -  3 )  e.  NN0  <->  ( ( a  -  3 )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( a  -  3 ) ) )
9388, 91, 92sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
948, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
9594adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
a  -  3 )  e.  NN0 )
96 zexpcl 11359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
9786, 95, 96syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  ZZ )
9883, 97zmulcld 10345 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  ZZ )
9924, 98zmulcld 10345 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  ZZ )
10013, 99zmulcld 10345 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
1015, 100fsumzcl 12492 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ )
102853adant3 977 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
103 3nn0 10203 . . . 4  |-  3  e.  NN0
104 zexpcl 11359 . . . 4  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  ZZ  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
105102, 103, 104sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  ZZ )
106 dvdsmul2 12835 . . 3  |-  ( (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
107101, 105, 106syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
108 jm2.22 26964 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e. 
NN0 )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
1096, 108syl3an3 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
110 1lt3 10108 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  3
111 1re 9054 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
112111, 61ltnlei 9158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  3  <->  -.  3  <_  1 )
113110, 112mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  3  <_  1
114 elfzle1 11024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 3 ... J )  ->  3  <_  1 )
115113, 114mto 169 . . . . . . . . . 10  |-  -.  1  e.  ( 3 ... J
)
116115a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  ( 3 ... J ) )
117116intnanrd 884 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
118 breq2 4184 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  1  ->  (
2  ||  b  <->  2  ||  1 ) )
119118notbid 286 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  1  ->  ( -.  2  ||  b  <->  -.  2  ||  1 ) )
120119elrab 3060 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( 1  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) )
121117, 120sylnibr 297 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
122 disjsn 3836 . . . . . . 7  |-  ( ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b } )
123121, 122sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  a  =  1 )
125124olcd 383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =  1 )  ->  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
126 elfznn0 11047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  NN0 )
127126adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  NN0 )
128127ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  NN0 )
129 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  2  ||  a )
130 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  =/=  1 )
131 elnn1uz2 10516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN  <->  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
132 df-ne 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =/=  1  <->  -.  a  =  1 )
133132biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =/=  1  ->  -.  a  =  1 )
1341333ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  ->  -.  a  =  1
)
135134pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  =  1  ->  3  <_  a
) )
136135imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
1 )  ->  3  <_  a )
137 uzp1 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
138 dvdsmul1 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 2  x.  1 ) )
13939, 33, 138mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  ||  ( 2  x.  1 )
140 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  CC
141140mulid1i 9056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
142139, 141breqtri 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  ||  2
143 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( a  =  2  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
144143adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  2 ) )
145142, 144mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  2  ||  a )
146 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  -.  2  ||  a )
147145, 146pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
2 )  ->  3  <_  a )
148 eluzle 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  a )
149 2p1e3 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  +  1 )  =  3
150149fveq2i 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  3 )
151148, 150eleq2s 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  (
2  +  1 ) )  ->  3  <_  a )
152151adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  <_  a )
153147, 152jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  2  \/  a  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )  ->  3  <_  a )
154137, 153sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  3  <_  a )
155136, 154jaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  ( a  =  1  \/  a  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )  ->  3  <_  a )
156131, 155sylan2b 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  e.  NN )  ->  3  <_ 
a )
157 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  0  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  0 ) )
15841, 157mpbiri 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  0  ->  2  ||  a )
159158adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  2  ||  a )
160 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  -.  2  ||  a )
161159, 160pm2.21dd 101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  NN0  /\ 
-.  2  ||  a  /\  a  =/=  1
)  /\  a  = 
0 )  ->  3  <_  a )
162 elnn0 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  NN0  <->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
163162biimpi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  ( a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
1641633ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  NN  \/  a  =  0
) )
165156, 161, 164mpjaodan 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  -.  2  ||  a  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
166128, 129, 130, 165syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  <_  a )
167 elfzle2 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  <_  J )
168167adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  <_  J
)
169168ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  <_  J )
170 elfzelz 11023 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  a  e.  ZZ )
171170adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  a  e.  ZZ )
172171ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ZZ )
173103nn0zi 10270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  ZZ
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
3  e.  ZZ )
175 nnz 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( J  e.  NN  ->  J  e.  ZZ )
1761753ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  e.  ZZ )
177176ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  ->  J  e.  ZZ )
178 elfz 11013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
a  e.  ( 3 ... J )  <->  ( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
179172, 174, 177, 178syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  <-> 
( 3  <_  a  /\  a  <_  J ) ) )
180166, 169, 179mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
a  e.  ( 3 ... J ) )
181180, 129jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
182181orcd 382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )  /\  a  =/=  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 3 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
183125, 182pm2.61dane 2653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
184 nn0uz 10484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
185103, 184eleqtri 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  e.  ( ZZ>= `  0 )
186 fzss1 11055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 3  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
187185, 186ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3 ... J )  C_  ( 0 ... J
)
188187sseli 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( 3 ... J )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
189188anim1i 552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
190189adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
191 0le1 9515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <_  1
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  <_  1 )
193 nnge1 9990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( J  e.  NN  ->  1  <_  J )
1941933ad2ant3 980 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  1  <_  J )
195194adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  <_  J )
19633a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
19735a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
0  e.  ZZ )
198176adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  J  e.  ZZ )
199 elfz 11013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 0 ... J )  <->  ( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
200196, 197, 198, 199syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( 1  e.  ( 0 ... J )  <-> 
( 0  <_  1  /\  1  <_  J ) ) )
201192, 195, 200mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
1  e.  ( 0 ... J ) )
20246a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  ->  -.  2  ||  1 )
203 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  e.  ( 0 ... J )  <->  1  e.  ( 0 ... J
) ) )
204 breq2 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  1  ->  (
2  ||  a  <->  2  ||  1 ) )
205204notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  ( -.  2  ||  a  <->  -.  2  ||  1 ) )
206203, 205anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
207206adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( 1  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  1 ) ) )
208201, 202, 207mpbir2and 889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  =  1 )  -> 
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a ) )
209190, 208jaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  (
( a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )  ->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
210183, 209impbida 806 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) ) )
21130elrab 3060 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  <->  ( a  e.  ( 0 ... J
)  /\  -.  2  ||  a ) )
212 elun 3456 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } ) )
213 elsn 3797 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { 1 }  <-> 
a  =  1 )
21431, 213orbi12i 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  \/  a  e.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
215212, 214bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } )  <->  ( (
a  e.  ( 3 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  \/  a  =  1 ) )
216210, 211, 2153bitr4g 280 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  <->  a  e.  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) ) )
217216eqrdv 2410 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  =  ( { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  u.  { 1 } ) )
218 fzfi 11274 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... J )  e. 
Fin
219 ssrab2 3396 . . . . . . . 8  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J
)
220 ssfi 7296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0 ... J
)  e.  Fin  /\  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  C_  ( 0 ... J ) )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
221218, 219, 220mp2an 654 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin
222221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  e.  Fin )
223219sseli 3312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
224223, 170syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  ZZ )
2257, 224, 11syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e. 
NN0 )
226225nn0cnd 10240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
227173adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
228227nn0cnd 10240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
229228adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
230223adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ( 0 ... J
) )
231 fznn0sub 11049 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
232230, 231syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  -  a )  e.  NN0 )
233229, 232expcld 11486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
234102zcnd 10340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
235223, 126syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN0 )
236 expcl 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  a  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
237234, 235, 236syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  e.  CC )
238 rmspecpos 26877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  RR+ )
239238rpcnd 10614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  CC )
2402393ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  CC )
241211simprbi 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  a )
24233a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  1  e.  ZZ )
24346a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  2  ||  1 )
244224, 241, 242, 243, 48syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  ||  ( a  -  1 ) )
24539a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  ZZ )
24651a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  =/=  0 )
247224, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  ZZ )
248245, 246, 247, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
2  ||  ( a  -  1 )  <->  ( (
a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
249244, 248mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  ZZ )
250247zred 10339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  RR )
251158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  ( 0 ... J )  ->  (
a  =  0  -> 
2  ||  a )
)
252251con3and 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( a  e.  ( 0 ... J )  /\  -.  2  ||  a )  ->  -.  a  = 
0 )
253211, 252sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  -.  a  =  0 )
254235, 163syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  e.  NN  \/  a  =  0 ) )
255 orel2 373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  a  =  0  -> 
( ( a  e.  NN  \/  a  =  0 )  ->  a  e.  NN ) )
256253, 254, 255sylc 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  a  e.  NN )
257256, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
a  -  1 )  e.  NN0 )
258257nn0ge0d 10241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( a  -  1 ) )
25974a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  2  e.  RR )
26076a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <  2 )
261250, 258, 259, 260, 78syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  0  <_  ( ( a  - 
1 )  /  2
) )
262249, 261, 80sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  { b  e.  ( 0 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
263 expcl 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( a  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
264240, 262, 263syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
265237, 264mulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
266233, 265mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
267226, 266mulcld 9072 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
268123, 217, 222, 267fsumsplit 12496 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 0 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  { 1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
269 expcl 11362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  3  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
270234, 103, 269sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
271100zcnd 10340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  e.  CC )
2725, 270, 271fsummulc1 12531 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
27312nn0cnd 10240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( J  _C  a )  e.  CC )
274228adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
275274, 22expcld 11486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  e.  CC )
276240, 81, 263syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
277 expcl 11362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  ( a  -  3 )  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
278234, 94, 277syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  e.  CC )
279276, 278mulcld 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) )  e.  CC )
280275, 279mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  e.  CC )
281270adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  e.  CC )
282273, 280, 281mulassd 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
283275, 279, 281mulassd 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
284276, 278, 281mulassd 9075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) ) )
285278, 281mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
286276, 285mulcomd 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) )
287234adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
288103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  3  e.  NN0 )
289287, 288, 95expaddd 11488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
29010adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  ZZ )
291290zcnd 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  a  e.  CC )
292 3cn 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  3  e.  CC
293 npcan 9278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( a  - 
3 )  +  3 )  =  a )
294291, 292, 293sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( a  -  3 )  +  3 )  =  a )
295294oveq2d 6064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
( ( a  - 
3 )  +  3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
a ) )
296289, 295eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( A Yrm  N ) ^ a ) )
297296oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
298284, 286, 2973eqtrd 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) )
299298oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
300283, 299eqtrd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) ) )
301300oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
302282, 301eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  /\  a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b } )  ->  (
( ( J  _C  a )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  ( ( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
303302sumeq2dv 12460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  =  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
304272, 303eqtr2d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a
)  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
305 1nn 9975 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
306 bccl 11576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  NN0  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( J  _C  1
)  e.  NN0 )
3076, 33, 306sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e. 
NN0 )
308307nn0cnd 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
3093083ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  e.  CC )
310 nnm1nn0 10225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
3113103ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  -  1 )  e.  NN0 )
312228, 311expcld 11486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  e.  CC )
313 1nn0 10201 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN0
314 expcl 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Yrm  N )  e.  CC  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
315234, 313, 314sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  e.  CC )
316 1m1e0 10032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  -  1 )  =  0
317316oveq1i 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  ( 0  /  2
)
318140, 51div0i 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  /  2 )  =  0
319317, 318eqtri 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  =  0
320 0nn0 10200 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  NN0
321319, 320eqeltri 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  1 )  /  2 )  e. 
NN0
322 expcl 11362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC  /\  ( ( 1  -  1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
323240, 321, 322sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  e.  CC )
324315, 323mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  e.  CC )
325312, 324mulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) )  e.  CC )
326309, 325mulcld 9072 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  e.  CC )
327 oveq2 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  ( J  _C  a )  =  ( J  _C  1
) )
328 oveq2 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  ( J  -  a )  =  ( J  - 
1 ) )
329328oveq2d 6064 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  =  ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) ) )
330 oveq2 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( A Yrm  N ) ^
a )  =  ( ( A Yrm  N ) ^
1 ) )
331 oveq1 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  1  ->  (
a  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
332331oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  1  ->  (
( a  -  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) )
333332oveq2d 6064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) )
334330, 333oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
335329, 334oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  1  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( a  - 
1 )  /  2
) ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
336327, 335oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  1  ->  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
337336sumsn 12497 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  NN  /\  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) )  e.  CC )  ->  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )
338305, 326, 337sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { 1 }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
339304, 338oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ a )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )  +  sum_ a  e.  {
1 }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
a )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) ) )
340109, 268, 3393eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm  ( N  x.  J
) )  =  ( ( sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) ) )
341 bcn1 11567 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
3427, 341syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  _C  1 )  =  J )
343342eqcomd 2417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  J  =  ( J  _C  1 ) )
344234exp1d 11481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
1 )  =  ( A Yrm  N ) )
345319a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( 1  -  1 )  /  2 )  =  0 )
346345oveq2d 6064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
0 ) )
347240exp0d 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ 0 )  =  1 )
348346, 347eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) )  =  1 )
349344, 348oveq12d 6066 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) )  =  ( ( A Yrm  N )  x.  1 ) )
350234mulid1d 9069 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N )  x.  1 )  =  ( A Yrm  N ) )
351349, 350eqtr2d 2445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( A Yrm 
N )  =  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) )
352351oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^
1 )  x.  (
( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) )
353343, 352oveq12d 6066 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( J  x.  ( (
( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  ( A Yrm 
N ) ) )  =  ( ( J  _C  1 )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( 1  -  1 )  / 
2 ) ) ) ) ) )
354340, 353oveq12d 6066 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  ( ( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) ) )
3555, 271fsumcl 12490 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  e.  CC )
356355, 270mulcld 9072 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  (
( J  _C  a
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  a
) )  x.  (
( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ (
a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) )  e.  CC )
357356, 326pncand 9376 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) )  +  ( ( J  _C  1 )  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^
( ( 1  -  1 )  /  2
) ) ) ) ) )  -  (
( J  _C  1
)  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^
( J  -  1 ) )  x.  (
( ( A Yrm  N ) ^ 1 )  x.  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 ) ^ (
( 1  -  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )  =  ( sum_ a  e.  { b  e.  ( 3 ... J
)  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a )
)  x.  ( ( ( ( A ^
2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  /  2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  -  3 ) ) ) ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ 3 ) ) )
358354, 357eqtrd 2444 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) )  =  (
sum_ a  e.  {
b  e.  ( 3 ... J )  |  -.  2  ||  b }  ( ( J  _C  a )  x.  ( ( ( A Xrm  N ) ^ ( J  -  a ) )  x.  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 ) ^ ( ( a  -  1 )  / 
2 ) )  x.  ( ( A Yrm  N ) ^ ( a  - 
3 ) ) ) ) )  x.  (
( A Yrm  N ) ^
3 ) ) )
359107, 358breqtrrd 4206 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ  /\  J  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  N ) ^
3 )  ||  (
( A Yrm  ( N  x.  J ) )  -  ( J  x.  (
( ( A Xrm  N ) ^ ( J  - 
1 ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   {crab 2678    u. cun 3286    i^i cin 3287    C_ wss 3288   (/)c0 3596   {csn 3782   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Fincfn 7076   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   NNcn 9964   2c2 10013   3c3 10014   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   ^cexp 11345    _C cbc 11556   sum_csu 12442    || cdivides 12815  ◻NNcsquarenn 26797   Xrm crmx 26861   Yrm crmy 26862
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  26966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
  Copyright terms: Public domain W3C validator