Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.24 Unicode version

Theorem jm2.24 26462
Description: Lemma 2.24 of [JonesMatijasevic] p. 697 extended to  ZZ. Could be eliminated with a more careful proof of jm2.26lem3 26506. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.24  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )

Proof of Theorem jm2.24
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
2 peano2zm 10062 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
32ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  - 
1 )  e.  ZZ )
4 frmy 26411 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
54fovcl 5949 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
61, 3, 5syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  ZZ )
76zred 10117 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR )
84fovcl 5949 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
98zred 10117 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  RR )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  RR )
117, 10readdcld 8862 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
12 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  RR )
14 frmx 26410 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
1514fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
1615adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  NN0 )
1716nn0red 10019 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Xrm  N )  e.  RR )
18 znegcl 10055 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
1918ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
2019peano2zd 10120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )
214fovcl 5949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
221, 20, 21syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  ZZ )
2322zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR )
244fovcl 5949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  e.  ZZ )
251, 19, 24syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  ZZ )
2625zred 10117 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  e.  RR )
27 rmy0 26426 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
2827ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
29 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  <_  0
)
30 zre 10028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  RR )
3231le0neg1d 9344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( N  <_ 
0  <->  0  <_  -u N
) )
3329, 32mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  -u N
)
34 0z 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  ZZ
3534a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  e.  ZZ )
36 zleltp1 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3735, 19, 36syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  0  <  ( -u N  +  1 ) ) )
3833, 37mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( -u N  +  1 ) )
39 ltrmy 26451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( -u N  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <  ( -u N  +  1 )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
401, 35, 20, 39syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  < 
( -u N  +  1 )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) ) )
4138, 40mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) ) )
4228, 41eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  ( A Yrm  ( -u N  + 
1 ) ) )
43 lermy 26454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  -u N  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )
441, 35, 19, 43syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( 0  <_  -u N  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) ) )
4533, 44mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  -u N
) )
4628, 45eqbrtrrd 4045 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  -u N ) )
47 addgtge0 9262 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  -u N )  e.  RR )  /\  (
0  <  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  /\  0  <_  ( A Yrm  -u N ) ) )  ->  0  <  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
4823, 26, 42, 46, 47syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  (
( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
497recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  CC )
5010recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  N )  e.  CC )
5149, 50negdid 9170 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  (
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
52 rmyneg 26425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  -u ( N  - 
1 ) )  = 
-u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
531, 3, 52syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
54 rmyneg 26425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u N )  =  -u ( A Yrm  N ) )
5554adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u N
)  =  -u ( A Yrm 
N ) )
5653, 55oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( -u ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  -u ( A Yrm  N ) ) )
57 zcn 10029 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5857ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  N  e.  CC )
59 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
60 negsubdi 9103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6158, 59, 60sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( N  - 
1 )  =  (
-u N  +  1 ) )
6261oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  =  ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) ) )
6362oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  -u ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) )  =  ( ( A Yrm  (
-u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N ) ) )
6451, 56, 633eqtr2d 2321 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  -u ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( A Yrm  ( -u N  +  1 ) )  +  ( A Yrm  -u N
) ) )
6548, 64breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6611lt0neg1d 9342 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0  <->  0  <  -u (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6765, 66mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  0
)
6816nn0ge0d 10021 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  0  <_  ( A Xrm 
N ) )
6911, 13, 17, 67, 68ltletrd 8976 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  <_  0 )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
70 simpll 730 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  A  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
71 elnnz 10034 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  < 
N ) )
7271biimpri 197 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
7372adantll 694 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  N  e.  NN )
74 jm2.24nn 26458 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
7570, 73, 74syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  0  <  N )  ->  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm 
N ) )
7630adantl 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
77 lelttric 8927 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7876, 12, 77sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  0  \/  0  <  N ) )
7969, 75, 78mpjaodan 761 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   Xrm crmx 26397   Yrm crmy 26398
This theorem is referenced by:  jm2.26lem3  26506
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26338  df-pell1qr 26339  df-pell14qr 26340  df-pell1234qr 26341  df-pellfund 26342  df-rmx 26399  df-rmy 26400
  Copyright terms: Public domain W3C validator