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Theorem jm2.25 27092
Description: Lemma for jm2.26 27095. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 frmx 26998 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
43fovcl 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
54nn0zd 10115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
61, 2, 5syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
7 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8 frmy 26999 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
98fovcl 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
101, 7, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
11 congid 27058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
126, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
13 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
15 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1614, 15mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
1716mul02d 9010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  ( 2  x.  N ) )  =  0 )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  (
2  x.  N ) )  =  0 )
1918oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  0 ) )
20 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2120addid1d 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2319, 22eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2423ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2524oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2625oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2712, 26breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2827orcd 381 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
30 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3230, 31, 5syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
33 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
3430, 33, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
35 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3635peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  +  1 )  e.  ZZ )
37 eluzel2 10235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
3938, 31zmulcld 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
4036, 39zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4133, 40zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
428fovcl 5949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4330, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4435, 39zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4533, 44zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )
468fovcl 5949 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4730, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
483fovcl 5949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e. 
NN0 )
4948nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5030, 39, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5147, 50zmulcld 10123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5247znegcld 10119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5351, 52zsubcld 10122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ )
543fovcl 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  NN0 )
5554nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5630, 45, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
578fovcl 5949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5830, 39, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5956, 58zmulcld 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
6038, 32zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  ZZ )
61 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
63 rmxdbl 27024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6430, 31, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 ) )
6613a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  CC )
6730, 31, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
6867nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
6968sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  CC )
7066, 69mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  e.  CC )
71 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
7370, 72npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) ) )
7468sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7574oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
76 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
7776eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7866, 68, 68, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7975, 78eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
8065, 73, 793eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
8162, 80breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
8250peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
83 dvdsmultr2 12564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8432, 47, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8581, 84mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) )
8647zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
8786mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
8950zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
9086, 89, 72adddid 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  1 ) ) )
9151zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
9291, 86subnegd 9164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
9388, 90, 923eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
9485, 93breqtrd 4047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
958fovcl 5949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9630, 31, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9738, 96zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
98 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
9997, 32, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
100 rmydbl 27025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10130, 31, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10296zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
10366, 68, 102mul32d 9022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
104101, 103eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
10599, 104breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )
106 dvdsmultr2 12564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
10732, 56, 58, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
108105, 107mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )
109 dvds2add 12560 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
110109imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11132, 53, 59, 94, 108, 110syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11235zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
11339zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
114112, 72, 113adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  x.  ( 2  x.  N ) )  +  ( 1  x.  (
2  x.  N ) ) ) )
115114oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11633zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
11744zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
118 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
120119, 39zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
121120zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
122116, 117, 121addassd 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
123113mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 2  x.  N ) )
124123oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
125115, 122, 1243eqtr2d 2321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
126125oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) ) )
127 rmyadd 27016 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
12830, 45, 39, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
130129oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
13159zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
13252zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
13391, 131, 132addsubd 9178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
134130, 133eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
135111, 134breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
136135olcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )
137 jm2.25lem1 27091 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
13832, 34, 43, 47, 136, 137syl221anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
139138pm5.74da 668 . . . . 5  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
140 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )
141140oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
142141oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
143142oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
144143breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
145142oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
146145breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
147144, 146orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
148147imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
149 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
150149oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
151150oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
152151oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
153152breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
154151oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
155154breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
156153, 155orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
157156imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
158 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) )
159158oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  0  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
160159oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
161160oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
162161breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
163160oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
164163breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
165162, 164orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
166165imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
167 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) )
168167oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
169168oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
170169oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
171170breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
172169oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
173172breq2d 4035 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
174171, 173orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
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) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
175174imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
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N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
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( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
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( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
176139, 148, 157, 166, 175zindbi 27031 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
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2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
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( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
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( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
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17729, 176mpbid 201 . . 3  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
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N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
178177impcom 419 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
1791783impa 1146 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  jm2.26a  27093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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