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Theorem jm2.25 27195
Description: Lemma for jm2.26 27198. Remainders mod X(2n) are negaperiodic mod 2n. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.25  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.25
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
2 simprrr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 frmx 27101 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
43fovcl 5965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
54nn0zd 10131 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
61, 2, 5syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
7 simprrl 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8 frmy 27102 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
98fovcl 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
101, 7, 9syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
11 congid 27161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
126, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
13 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  CC
1413a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
15 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1614, 15mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
1716mul02d 9026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  x.  ( 2  x.  N ) )  =  0 )
1817adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  x.  (
2  x.  N ) )  =  0 )
1918oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  0 ) )
20 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
2120addid1d 9028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2221adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  0 )  =  M )
2319, 22eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2423ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  M )
2524oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2625oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2712, 26breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
2827orcd 381 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
2928ex 423 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
30 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
31 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
3230, 31, 5syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
33 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
3430, 33, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
35 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
3635peano2zd 10136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  +  1 )  e.  ZZ )
37 eluzel2 10251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  e.  ZZ )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  ZZ )
3938, 31zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
4036, 39zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4133, 40zaddcld 10137 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
428fovcl 5965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4330, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4435, 39zmulcld 10139 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
4533, 44zaddcld 10137 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )
468fovcl 5965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
4730, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
483fovcl 5965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e. 
NN0 )
4948nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5030, 39, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5147, 50zmulcld 10139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
5247znegcld 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5351, 52zsubcld 10138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ )
543fovcl 5965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  NN0 )
5554nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
5630, 45, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )
578fovcl 5965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  N )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
5830, 39, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  e.  ZZ )
5956, 58zmulcld 10139 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )
6038, 32zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Xrm  N ) )  e.  ZZ )
61 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
6260, 32, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
63 rmxdbl 27127 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6430, 31, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  (
( A Xrm  N ) ^
2 ) )  - 
1 ) )
6564oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 ) )
6613a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  2  e.  CC )
6730, 31, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
6867nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  CC )
6968sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  e.  CC )
7066, 69mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  e.  CC )
71 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
7271a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  CC )
7370, 72npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) ) )
7468sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N ) ^
2 )  =  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7574oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
76 mulass 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) ) )
7776eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC  /\  ( A Xrm  N )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm  N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7866, 68, 68, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N )  x.  ( A Xrm 
N ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
7975, 78eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Xrm  N ) ^ 2 ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
8065, 73, 793eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
8162, 80breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )
8250peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )
83 dvdsmultr2 12580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8432, 47, 82, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) ) )
8581, 84mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) ) )
8647zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
8786mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  1 )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8887oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
8950zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
9086, 89, 72adddid 8875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  1 ) ) )
9151zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
9291, 86subnegd 9180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
9388, 90, 923eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( ( A Xrm  ( 2  x.  N ) )  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
9485, 93breqtrd 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
958fovcl 5965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9630, 31, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
9738, 96zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  N ) )  e.  ZZ )
98 dvdsmul2 12567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
9997, 32, 98syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
100 rmydbl 27128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10130, 31, 100syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) ) )
10296zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  CC )
10366, 68, 102mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( 2  x.  ( A Xrm 
N ) )  x.  ( A Yrm  N ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
104101, 103eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm 
N ) )  x.  ( A Xrm  N ) ) )
10599, 104breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )
106 dvdsmultr2 12580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
10732, 56, 58, 106syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
108105, 107mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )
109 dvds2add 12576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) )
110109imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  (
( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  /\  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  -> 
( A Xrm  N )  ||  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11132, 53, 59, 94, 108, 110syl32anc 1190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11235zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  b  e.  CC )
11339zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
114112, 72, 113adddird 8876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  x.  ( 2  x.  N ) )  +  ( 1  x.  (
2  x.  N ) ) ) )
115114oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
11633zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  M  e.  CC )
11744zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
b  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
118 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
119118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
120119, 39zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  ZZ )
121120zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )
122116, 117, 121addassd 8873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( M  +  ( ( b  x.  ( 2  x.  N
) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
123113mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
1  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 2  x.  N ) )
124123oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( 1  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
125115, 122, 1243eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( M  +  ( (
b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  +  ( 2  x.  N
) ) )
126125oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) ) )
127 rmyadd 27119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
12830, 45, 39, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) )  +  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
129126, 128eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
130129oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
13159zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) )  e.  CC )
13252zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  CC )
13391, 131, 132addsubd 9194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N
) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
134130, 133eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Xrm  ( 2  x.  N ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  +  ( ( A Xrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  x.  ( A Yrm  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
135111, 134breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) ) ) )
136135olcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )
137 jm2.25lem1 27194 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )  /\  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) ) ) )  ->  ( (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
13832, 34, 43, 47, 136, 137syl221anc 1193 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  ( A  e.  ( ZZ>=
`  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
139138pm5.74da 668 . . . . 5  |-  ( b  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
140 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  b  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) )
141140oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
142141oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
143142oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
144143breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
145142oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
146145breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
147144, 146orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
148147imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( b  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
149 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) )
150149oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
151150oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
152151oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
153152breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
154151oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
155154breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
156153, 155orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
157156imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( ( b  +  1 )  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
158 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  0  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) )
159158oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  0  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
160159oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  0  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
161160oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
162161breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
163160oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
164163breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
165162, 164orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
166165imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
167 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  I  ->  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) )
168167oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  I  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )
169168oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  I  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
170169oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) )
171170breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
172169oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  I  ->  (
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2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )
173172breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( a  =  I  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) )  <->  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
174171, 173orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( a  =  I  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
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N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
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) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
175174imbi2d 307 . . . . 5  |-  ( a  =  I  ->  (
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N )  ||  (
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2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
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( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
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( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) ) )
176139, 148, 157, 166, 175zindbi 27134 . . . 4  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  ( ( A Xrm 
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2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( 0  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  <->  ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
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( ( A Xrm  N ) 
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17729, 176mpbid 201 . . 3  |-  ( I  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  (
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2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
178177impcom 419 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
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1791783impa 1146 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  I  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( I  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Xrm crmx 27088   Yrm crmy 27089
This theorem is referenced by:  jm2.26a  27196
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
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