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Theorem jm2.26a 26764
Description: Lemma for jm2.26 26766. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separatly. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26a  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26a
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10246 . . . . 5  |-  2  e.  ZZ
2 simplr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 10258 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
5 zsubcl 10253 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  -  M
)  e.  ZZ )
65adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  M )  e.  ZZ )
7 divides 12783 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) ) )
84, 6, 7syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M ) ) )
9 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
10 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  M  e.  ZZ )
11 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
12 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
13 jm2.25 26763 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
149, 10, 11, 12, 13syl121anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
1514adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
16 oveq2 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) )  =  ( M  +  ( K  -  M ) ) )
1716oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M ) ) ) )
18 zcn 10221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
19 zcn 10221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  ZZ  ->  K  e.  CC )
20 pncan3 9247 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2118, 19, 20syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2221ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( M  +  ( K  -  M ) )  =  K )
2322oveq2d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( K  -  M
) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
2417, 23sylan9eqr 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
25 eqidd 2390 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( A Yrm  M )  =  ( A Yrm  M ) )
2624, 25acongeq12d 26737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  ( M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <-> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2715, 26mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
2827ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  M )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
2928rexlimdva 2775 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
308, 29sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
31 simprl 733 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
32 znegcl 10247 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  ZZ )
3332ad2antll 710 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  -u M  e.  ZZ )
3431, 33zsubcld 10314 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( K  -  -u M )  e.  ZZ )
35 divides 12783 . . . 4  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  ZZ  /\  ( K  -  -u M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  N )  ||  ( K  -  -u M
)  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) ) )
364, 34, 35syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  <->  E. a  e.  ZZ  ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
) ) )
37 frmx 26669 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
3837fovcl 6116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
3938nn0zd 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
409, 11, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  N )  e.  ZZ )
41 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  K  e.  ZZ )
42 frmy 26670 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
4342fovcl 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
449, 41, 43syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  K )  e.  ZZ )
4542fovcl 6116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
469, 10, 45syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )
4740, 44, 463jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4847adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ ) )
4933adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  -> 
-u M  e.  ZZ )
50 jm2.25 26763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( -u M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
519, 49, 11, 12, 50syl121anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) ) )
5251adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  (
-u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M ) ) ) )
53 oveq2 6030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )
5453oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  (
2  x.  N ) ) ) )  =  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) ) )
5518negcld 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  -u M  e.  CC )
56 pncan3 9247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u M  e.  CC  /\  K  e.  CC )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) )  =  K )
5755, 19, 56syl2anr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5857ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( -u M  +  ( K  -  -u M
) )  =  K )
5958oveq2d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( K  -  -u M ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
6054, 59sylan9eqr 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  =  ( A Yrm  K ) )
61 rmyneg 26684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
629, 10, 61syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
6362adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( A Yrm  -u M
)  =  -u ( A Yrm 
M ) )
6460, 63acongeq12d 26737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  ( A Yrm  -u M
) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  ( -u M  +  ( a  x.  ( 2  x.  N
) ) ) )  -  -u ( A Yrm  -u M
) ) )  <->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6552, 64mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm  M ) ) ) )
66 acongneg2 26735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  M )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
6748, 65, 66syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  ( a  x.  (
2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M ) )  ->  ( ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
6867ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  x.  ( 2  x.  N
) )  =  ( K  -  -u M
)  ->  ( ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
6968rexlimdva 2775 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  x.  ( 2  x.  N ) )  =  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7036, 69sylbid 207 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
7130, 70jaod 370 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( 2  x.  N
)  ||  ( K  -  M )  \/  (
2  x.  N ) 
||  ( K  -  -u M ) )  -> 
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928    x. cmul 8930    - cmin 9225   -ucneg 9226   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422    || cdivides 12781   Xrm crmx 26656   Yrm crmy 26657
This theorem is referenced by:  jm2.26  26766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-pi 12604  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-numer 13056  df-denom 13057  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323  df-squarenn 26597  df-pell1qr 26598  df-pell14qr 26599  df-pell1234qr 26600  df-pellfund 26601  df-rmx 26658  df-rmy 26659
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