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Theorem jm2.26lem3 26966
Description: Lemma for jm2.26 26967. Use acongrep 26939 to find K', M' ~ K, M in [ 0,N ]. Thus Y(K') ~ Y(M') and both are small; K' = M' on pain of contradicting 2.24, so K ~ M (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26lem3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )

Proof of Theorem jm2.26lem3
StepHypRef Expression
1 simplll 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
2 elfzelz 11019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
32adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
43ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ZZ )
5 rmyabs 26917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K ) ) )
61, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  K
) ) )
73zred 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
87ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  RR )
9 elfzle1 11020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  K )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  K
)
1110ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  K )
128, 11absidd 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  K
)  =  K )
1312oveq2d 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  K
) )  =  ( A Yrm  K ) )
146, 13eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  =  ( A Yrm  K ) )
15 elfzelz 11019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  e.  ZZ )
1615adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  ZZ )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
18 rmyabs 26917 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M ) ) )
191, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  ( abs `  M
) ) )
2016zred 10335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  M  e.  RR )
2120ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  RR )
22 elfzle1 11020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  0  <_  M )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  M
)
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
0  <_  M )
2521, 24absidd 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  M
)  =  M )
2625oveq2d 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( abs `  M
) )  =  ( A Yrm  M ) )
2719, 26eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( A Yrm  M ) )
2814, 27oveq12d 6062 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
29 frmy 26871 . . . . . . . . . . . 12  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
3029fovcl 6138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
311, 4, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  ZZ )
3231zred 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  RR )
3329fovcl 6138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
341, 17, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  ZZ )
3534zred 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  RR )
3632, 35readdcld 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
37 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN )
3837nnzd 10334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ZZ )
39 peano2zm 10280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
4129fovcl 6138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
421, 40, 41syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  ZZ )
4342zred 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  e.  RR )
4429fovcl 6138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
N )  e.  ZZ )
451, 38, 44syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  ZZ )
4645zred 10335 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  N )  e.  RR )
4743, 46readdcld 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  e.  RR )
48 frmx 26870 . . . . . . . . . . 11  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
4948fovcl 6138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  NN0 )
501, 38, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e. 
NN0 )
5150nn0red 10235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Xrm  N )  e.  RR )
52 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  K  <_  ( N  -  1 ) )
54 lermy 26914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
551, 4, 40, 54syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( K  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
5753, 56mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
58 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ( 0 ... N ) )
59 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... N )  ->  M  <_  N )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  <_  N )
61 lermy 26914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
621, 17, 38, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  N  <->  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
6360, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  N ) )
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm 
N ) )
65 le2add 9470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A Yrm  K )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
M )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6632, 35, 43, 46, 65syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6766adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
6857, 64, 67mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
6931zcnd 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  e.  CC )
7034zcnd 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  M )  e.  CC )
7169, 70addcomd 9228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
7271adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) ) )
73 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  M )
7473necomd 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  =/=  M  ->  M  =/=  K )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  K )
76 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  K  =  N )
7775, 76neeqtrd 2593 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  M  =/=  N )
7877neneqd 2587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  =/=  M  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
7978adantll 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  -.  M  =  N )
80 nnnn0 10188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
81 nn0uz 10480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8280, 81syl6eleq 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
8382ad4antlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
84 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
8584ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... N
) )
86 fzm1 11086 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( M  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N ) ) )
8786biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  M  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
8883, 85, 87syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  M  =  N ) )
89 orel2 373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  M  =  N  -> 
( ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  M  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ) )
9079, 88, 89sylc 58 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
91 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  M  <_  ( N  -  1 ) )
93 lermy 26914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
941, 17, 40, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
( A Yrm  M )  <_ 
( A Yrm  ( N  - 
1 ) ) ) )
9594adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( M  <_  ( N  - 
1 )  <->  ( A Yrm  M
)  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) ) )
9692, 95mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) ) )
97 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
98 elfzle2 11021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  <_  N )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  <_  N )
100 lermy 26914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K
)  <_  ( A Yrm  N
) ) )
1011, 4, 38, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  <_  N  <->  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm 
N ) ) )
10299, 101mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  <_ 
( A Yrm  N ) )
103102adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  ( A Yrm 
K )  <_  ( A Yrm 
N ) )
104 le2add 9470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A Yrm  M )  e.  RR  /\  ( A Yrm 
K )  e.  RR )  /\  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  ( A Yrm  N )  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10535, 32, 43, 46, 104syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N
) )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
106105adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( ( A Yrm  M )  <_  ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  /\  ( A Yrm  K )  <_  ( A Yrm  N ) )  ->  ( ( A Yrm 
M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_ 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) ) )
10796, 103, 106mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  M )  +  ( A Yrm  K ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10872, 107eqbrtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  =/= 
M )  /\  K  =  N )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
10937nnnn0d 10234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  NN0 )
110109, 81syl6eleq 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
111 fzm1 11086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( K  e.  ( 0 ... N
)  <->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) ) )
112111biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  K  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( K  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  \/  K  =  N ) )
113110, 97, 112syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  \/  K  =  N ) )
11468, 108, 113mpjaodan 762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <_  ( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) ) )
115 jm2.24 26922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( A Yrm  ( N  - 
1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
1161, 38, 115syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  ( N  -  1 ) )  +  ( A Yrm  N ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11736, 47, 51, 114, 116lelttrd 9188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  <  ( A Xrm  N ) )
11828, 117eqbrtrd 4196 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
119 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  M )
120 rmyeq 26913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  M ) ) )
121120necon3bid 2606 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  M ) ) )
1221, 4, 17, 121syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm 
M ) ) )
123119, 122mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M ) )
1247ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  e.  RR )
125 0re 9051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  e.  RR )
127 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  -u M )
12822ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  0  <_  M )
12920adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  RR )
130129le0neg2d 9559 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
0  <_  M  <->  -u M  <_ 
0 ) )
131128, 130mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  -u M  <_  0 )
132131adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  -u M  <_  0
)
133127, 132eqbrtrd 4196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  <_  0
)
13410ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  0  <_  K
)
135 letri3 9120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( K  =  0  <-> 
( K  <_  0  /\  0  <_  K ) ) )
136135biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( K  <_ 
0  /\  0  <_  K ) )  ->  K  =  0 )
137124, 126, 133, 134, 136syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  0 )
138 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  0 )
139 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  -u M )
140139, 138eqtr3d 2442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  -u M  =  0 )
141129recnd 9074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  M  e.  CC )
142141ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  e.  CC )
143142negeq0d 9363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  ( M  =  0  <->  -u M  =  0 ) )
144140, 143mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  M  =  0 )
145138, 144eqtr4d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  /\  K  = 
-u M )  /\  K  =  0 )  ->  K  =  M )
146137, 145mpdan 650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =  -u M )  ->  K  =  M )
147146ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =  -u M  ->  K  =  M )
)
148147necon3d 2609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  K  =/=  -u M ) )
149148imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  K  =/=  -u M )
15058, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  M  e.  ZZ )
151150znegcld 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  ->  -u M  e.  ZZ )
152 rmyeq 26913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =  ( A Yrm  -u M ) ) )
153152necon3bid 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  K  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ )  ->  ( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K
)  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
1541, 4, 151, 153syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( K  =/=  -u M  <->  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) ) )
155149, 154mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  -u M ) )
156 rmyneg 26885 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  -u M )  =  -u ( A Yrm  M ) )
1571, 17, 156syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  -u M )  = 
-u ( A Yrm  M ) )
158155, 157neeqtrd 2593 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )
159118, 123, 1583jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  K  =/=  M )  -> 
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )
160159ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  (
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
161 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  A  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
1623ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  e.  ZZ )
163161, 162, 30syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  ZZ )
164163zcnd 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  e.  CC )
16516ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
166161, 165, 33syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
167166zcnd 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
M )  e.  CC )
168164, 167negsubd 9377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) ) )
169168fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
170167negcld 9358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  CC )
171164, 170addcld 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  + 
-u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
172171abscld 12197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
173164abscld 12197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  K ) )  e.  RR )
174167abscld 12197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  e.  RR )
175173, 174readdcld 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
176 nnz 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
177176adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
178177ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
17949nn0zd 10333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
180161, 178, 179syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  ZZ )
181180zred 10335 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Xrm 
N )  e.  RR )
182164, 170abstrid 12217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
183 absneg 12041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )
184183eqcomd 2413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A Yrm  M )  e.  CC  ->  ( abs `  ( A Yrm 
M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) )
185167, 184syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( A Yrm  M ) )  =  ( abs `  -u ( A Yrm  M ) ) )
186185oveq2d 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
187182, 186breqtrrd 4202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
188 simpr1 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
189172, 175, 181, 187, 188lelttrd 9188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
190169, 189eqbrtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
191163, 166zsubcld 10340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
192191zcnd 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
193192abscld 12197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
194193, 181ltnled 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
195190, 194mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) )
196 simpr2 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  ( A Yrm 
M ) )
197164, 167, 196subne0d 9380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
198 dvdsleabs 12855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
199180, 191, 197, 198syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) ) ) )
200195, 199mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) ) )
201164, 167subnegd 9378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )
202201fveq2d 5695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  =  ( abs `  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) ) )
203164, 167addcld 9067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
204203abscld 12197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  e.  RR )
205164, 167abstrid 12217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  <_ 
( ( abs `  ( A Yrm 
K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) ) )
206204, 175, 181, 205, 188lelttrd 9188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  +  ( A Yrm  M ) ) )  < 
( A Xrm  N ) )
207202, 206eqbrtrd 4196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N ) )
208166znegcld 10337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -u ( A Yrm 
M )  e.  ZZ )
209163, 208zsubcld 10340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  ZZ )
210209zcnd 10336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  e.  CC )
211210abscld 12197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) )  e.  RR )
212211, 181ltnled 9180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  <->  -.  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
213207, 212mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  <_ 
( abs `  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
214 simpr3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( A Yrm 
K )  =/=  -u ( A Yrm 
M ) )
215164, 170, 214subne0d 9380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  =/=  0 )
216 dvdsleabs 12855 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A Xrm  N )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) )  =/=  0 )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
217180, 209, 215, 216syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) )  ->  ( A Xrm  N
)  <_  ( abs `  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
218213, 217mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )
219200, 218jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  ( -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
220 pm4.56 482 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  /\  -.  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  <->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )
221219, 220sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N
)  /\  M  e.  ( 0 ... N
) ) )  /\  ( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) )
222221ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( ( abs `  ( A Yrm  K ) )  +  ( abs `  ( A Yrm 
M ) ) )  <  ( A Xrm  N )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  ( A Yrm  M )  /\  ( A Yrm  K )  =/=  -u ( A Yrm  M ) )  ->  -.  (
( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N )  ||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) ) )
223160, 222syld 42 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  ( K  =/=  M  ->  -.  ( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) ) ) )
224223necon4ad 2632 . 2  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) ) )  ->  (
( ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm 
N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm  M ) ) )  ->  K  =  M ) )
2252243impia 1150 1  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  N  e.  NN )  /\  ( K  e.  ( 0 ... N )  /\  M  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( ( A Xrm  N )  ||  (
( A Yrm  K )  -  ( A Yrm  M ) )  \/  ( A Xrm  N ) 
||  ( ( A Yrm  K )  -  -u ( A Yrm 
M ) ) ) )  ->  K  =  M )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251   -ucneg 9252   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ...cfz 11003   abscabs 11998    || cdivides 12811   Xrm crmx 26857   Yrm crmy 26858
This theorem is referenced by:  jm2.26  26967
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-mulg 14774  df-cntz 15075  df-cmn 15373  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-squarenn 26798  df-pell1qr 26799  df-pell14qr 26800  df-pell1234qr 26801  df-pellfund 26802  df-rmx 26859  df-rmy 26860
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