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Theorem jm2.27a 27098
Description: Lemma for jm2.27 27101. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27a4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
jm2.27a5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
jm2.27a6  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
jm2.27a7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
jm2.27a8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
jm2.27a9  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
jm2.27a10  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
jm2.27a11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a12  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a13  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a14  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a15  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
jm2.27a16  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
jm2.27a17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
jm2.27a18  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
jm2.27a19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
jm2.27a20  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
jm2.27a21  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
jm2.27a22  |-  ( ph  ->  D  =  ( A Xrm  P ) )
jm2.27a23  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
jm2.27a24  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
jm2.27a25  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
jm2.27a26  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
jm2.27a27  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
jm2.27a28  |-  ( ph  ->  I  =  ( G Xrm  R ) )
jm2.27a29  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
Assertion
Ref Expression
jm2.27a  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
2 2z 10054 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
43nnzd 10116 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
5 zmulcl 10066 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
62, 4, 5sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
7 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
87nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
9 jm2.27a27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
10 jm2.27a21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
1211nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
14 congsym 27055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
1811nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  H )
19 rmy0 27014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
2221eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  =  H )
2318, 20, 223brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  R ) )
24 0z 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
2524a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
26 lermy 27042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  R
) ) )
2717, 25, 9, 26syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
R ) ) )
2823, 27mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
29 elnn0z 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  ZZ  /\  0  <_  R ) )
309, 28, 29sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
31 jm2.16nn0 27097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  R )  -  R ) )
3217, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3321oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3432, 33breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R ) )
35 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
3635nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
37 peano2zm 10062 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3912, 9zsubcld 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  e.  ZZ )
40 dvdstr 12562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  R
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  R ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) ) )
416, 38, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )
4216, 34, 41mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) )
43 congtr 27052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( H  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H )  /\  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )  ->  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )
)
446, 8, 12, 9, 15, 42, 43syl222anc 1198 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  R ) )
4544orcd 381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) ) )
46 jm2.27a24 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
47 zmulcl 10066 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
482, 46, 47sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
49 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
504, 49syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
51 dvdsmul2 12551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
522, 50, 51sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
53 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
5453nn0zd 10115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5554peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
56 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
572, 50, 56sylancr 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 12564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( J  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5950, 55, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
6052, 59mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
611oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) )
62 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
63 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
6462, 63eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( A Yrm  Q ) )
6560, 61, 643brtr3d 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
66 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6755zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  RR )
6857zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
69 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7053, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7170nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( J  +  1 ) )
72 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
733nnsqcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
74 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7572, 73, 74sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7675nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
7767, 68, 71, 76mulgt0d 8971 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
7877, 62breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  E )
79 rmy0 27014 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8066, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8163eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  =  E )
8278, 80, 813brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  Q ) )
83 ltrmy 27039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  Q ) ) )
8466, 25, 46, 83syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
Q ) ) )
8582, 84mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
86 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  NN  <->  ( Q  e.  ZZ  /\  0  < 
Q ) )
8746, 85, 86sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
883nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  C )
891eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  =  C )
9088, 80, 893brtr4d 4053 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  P ) )
91 ltrmy 27039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  P ) ) )
9266, 25, 10, 91syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
P ) ) )
9390, 92mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  P )
94 elnnz 10034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
9510, 93, 94sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
96 jm2.20nn 27090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q ) )
9766, 87, 95, 96syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q ) )
9865, 97mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q )
991, 4eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )
100 muldvds2 12554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q  ->  ( A Yrm  P ) 
||  Q ) )
10110, 99, 46, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q  ->  ( A Yrm 
P )  ||  Q
) )
10298, 101mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  ||  Q )
1031, 102eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  ||  Q )
1042a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
105 dvdscmul 12555 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  Q  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( 2  x.  Q ) ) )
1064, 46, 104, 105syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  ||  Q  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) ) )
107103, 106mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) )
108 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
109 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
110109nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
111108, 110eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
112 frmy 26999 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
113112fovcl 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )
11466, 9, 113syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  R )  e.  ZZ )
11521, 12eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  e.  ZZ )
116 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
11766, 116syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
118 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
119 congsym 27055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  G  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
120110, 36, 117, 118, 119syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
121108, 120eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G
) )
122 jm2.15nn0 27096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( A  -  G )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
12366, 17, 30, 122syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )
124117, 36zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  e.  ZZ )
125114, 115zsubcld 10122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  e.  ZZ )
126 dvdstr 12562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A  -  G )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm 
R ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  Q ) 
||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )  ->  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
127111, 124, 125, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )  ->  ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
128121, 123, 127mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
129 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
13021, 1oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
131129, 108, 1303brtr3d 4052 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
132 congtr 27052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )  /\  ( ( G Yrm  R )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  /\  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) ) )  ->  ( A Xrm  Q
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
133111, 114, 115, 99, 128, 131, 132syl222anc 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
134133orcd 381 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) ) )
135 jm2.26 27095 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  Q  e.  NN )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm 
P ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )
13666, 87, 9, 10, 135syl22anc 1183 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) )  <->  ( (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  -u P ) ) ) )
137134, 136mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
138 dvdsacongtr 27071 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  Q )  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q )  /\  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )  ->  (
( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  C ) 
||  ( R  -  -u P ) ) )
13948, 9, 10, 6, 107, 137, 138syl222anc 1198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
140 acongtr 27065 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  -u P
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) )
1416, 8, 9, 10, 45, 139, 140syl222anc 1198 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) )
1427nnnn0d 10018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
1433nnnn0d 10018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
144 jm2.27a20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
145 elfz2nn0 10821 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... C )  <->  ( B  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  B  <_  C ) )
146142, 143, 144, 145syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 ... C ) )
14795nnnn0d 10018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
148 rmygeid 27051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  <_  ( A Yrm  P ) )
14966, 147, 148syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  <_  ( A Yrm  P
) )
150149, 1breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  <_  C )
151 elfz2nn0 10821 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( 0 ... C )  <->  ( P  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  P  <_  C ) )
152147, 143, 150, 151syl3anbrc 1136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... C ) )
153 acongeq 27070 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... C )  /\  P  e.  ( 0 ... C ) )  ->  ( B  =  P  <->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) ) )
1543, 146, 152, 153syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =  P  <-> 
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) ) )
155141, 154mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  P )
156155oveq2d 5874 . 2  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  =  ( A Yrm  P ) )
1571, 156eqtr4d 2318 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  jm2.27b  27099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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