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Theorem jm2.27a 26974
Description: Lemma for jm2.27 26977. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27a4  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
jm2.27a5  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
jm2.27a6  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
jm2.27a7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
jm2.27a8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
jm2.27a9  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
jm2.27a10  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
jm2.27a11  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a12  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a13  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a14  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
jm2.27a15  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
jm2.27a16  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
jm2.27a17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
jm2.27a18  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
jm2.27a19  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
jm2.27a20  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
jm2.27a21  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
jm2.27a22  |-  ( ph  ->  D  =  ( A Xrm  P ) )
jm2.27a23  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
jm2.27a24  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
jm2.27a25  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
jm2.27a26  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
jm2.27a27  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
jm2.27a28  |-  ( ph  ->  I  =  ( G Xrm  R ) )
jm2.27a29  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
Assertion
Ref Expression
jm2.27a  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  P ) )
2 2z 10276 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
43nnzd 10338 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
5 zmulcl 10288 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
62, 4, 5sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
7 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
87nnzd 10338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
9 jm2.27a27 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
10 jm2.27a21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
1211nn0zd 10337 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
14 congsym 26931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  H  e.  ZZ )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H ) )
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
1811nn0ge0d 10241 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  H )
19 rmy0 26890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  R ) )
2221eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  =  H )
2318, 20, 223brtr4d 4210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  R ) )
24 0z 10257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
26 lermy 26918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  R
) ) )
2717, 25, 9, 26syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  R  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
R ) ) )
2823, 27mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
29 elnn0z 10258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  NN0  <->  ( R  e.  ZZ  /\  0  <_  R ) )
309, 28, 29sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  NN0 )
31 jm2.16nn0 26973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  R )  -  R ) )
3217, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3321oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  R
) )
3432, 33breqtrrd 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R ) )
35 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
3635nn0zd 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
37 peano2zm 10284 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
3912, 9zsubcld 10344 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H  -  R
)  e.  ZZ )
40 dvdstr 12846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  R
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  R ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) ) )
416, 38, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  R
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )
4216, 34, 41mp2and 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  R ) )
43 congtr 26928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( H  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  H )  /\  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  R ) ) )  ->  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )
)
446, 8, 12, 9, 15, 42, 43syl222anc 1200 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  R ) )
4544orcd 382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) ) )
46 jm2.27a24 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
47 zmulcl 10288 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
482, 46, 47sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
49 zsqcl 11415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  ZZ  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
504, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )
51 dvdsmul2 12835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
522, 50, 51sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
53 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
5453nn0zd 10337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
5554peano2zd 10342 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  ZZ )
56 zmulcl 10288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( C ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
572, 50, 56sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )
58 dvdsmultr2 12848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( J  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
5950, 55, 57, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  ||  (
2  x.  ( C ^ 2 ) )  ->  ( C ^
2 )  ||  (
( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) ) ) )
6052, 59mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  ||  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
611oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) )
62 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
63 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  Q ) )
6462, 63eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( A Yrm  Q ) )
6560, 61, 643brtr3d 4209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
66 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
6755zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  RR )
6857zred 10339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  RR )
69 nn0p1nn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( J  e.  NN0  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7053, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  e.  NN )
7170nngt0d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( J  +  1 ) )
72 2nn 10097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  NN
733nnsqcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
74 nnmulcl 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7572, 73, 74sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
7675nngt0d 10007 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
7767, 68, 71, 76mulgt0d 9189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
7877, 62breqtrrd 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  E )
79 rmy0 26890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8066, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
8163eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  =  E )
8278, 80, 813brtr4d 4210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  Q ) )
83 ltrmy 26915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  Q ) ) )
8466, 25, 46, 83syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  Q  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
Q ) ) )
8582, 84mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  Q )
86 elnnz 10256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  NN  <->  ( Q  e.  ZZ  /\  0  < 
Q ) )
8746, 85, 86sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
883nngt0d 10007 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  0  <  C )
891eqcomd 2417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  =  C )
9088, 80, 893brtr4d 4210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  P ) )
91 ltrmy 26915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  (
0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  P ) ) )
9266, 25, 10, 91syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  <  P  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm 
P ) ) )
9390, 92mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  P )
94 elnnz 10256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  NN  <->  ( P  e.  ZZ  /\  0  < 
P ) )
9510, 93, 94sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
96 jm2.20nn 26966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  P  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  P ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q ) )
9766, 87, 95, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  P ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q ) )
9865, 97mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q )
991, 4eqeltrrd 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )
100 muldvds2 12838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  (
( P  x.  ( A Yrm 
P ) )  ||  Q  ->  ( A Yrm  P ) 
||  Q ) )
10110, 99, 46, 100syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( A Yrm  P ) ) 
||  Q  ->  ( A Yrm 
P )  ||  Q
) )
10298, 101mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  P )  ||  Q )
1031, 102eqbrtrd 4200 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  ||  Q )
1042a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
105 dvdscmul 12839 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( C  ||  Q  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( 2  x.  Q ) ) )
1064, 46, 104, 105syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  ||  Q  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) ) )
107103, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q ) )
108 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  =  ( A Xrm  Q ) )
109 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
110109nn0zd 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
111108, 110eqeltrrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
112 frmy 26875 . . . . . . . . . . 11  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
113112fovcl 6142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  R  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )
11466, 9, 113syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  R )  e.  ZZ )
11521, 12eqeltrrd 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  R )  e.  ZZ )
116 eluzelz 10460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
11766, 116syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
118 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
119 congsym 26931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ZZ  /\  G  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
120110, 36, 117, 118, 119syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  ||  ( A  -  G ) )
121108, 120eqbrtrrd 4202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G
) )
122 jm2.15nn0 26972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  R  e.  NN0 )  ->  ( A  -  G )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
12366, 17, 30, 122syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )
124117, 36zsubcld 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  -  G
)  e.  ZZ )
125114, 115zsubcld 10344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  e.  ZZ )
126 dvdstr 12846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A  -  G )  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm 
R ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  Q ) 
||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )  ->  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
127111, 124, 125, 126syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( A  -  G )  /\  ( A  -  G
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( G Yrm 
R ) ) )  ->  ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) ) )
128121, 123, 127mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) ) )
129 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
13021, 1oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
131129, 108, 1303brtr3d 4209 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
132 congtr 26928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A Xrm  Q )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm 
R )  e.  ZZ )  /\  ( ( G Yrm  R )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  P )  e.  ZZ )  /\  (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( G Yrm  R ) )  /\  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( G Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) ) ) )  ->  ( A Xrm  Q
)  ||  ( ( A Yrm 
R )  -  ( A Yrm 
P ) ) )
133111, 114, 115, 99, 128, 131, 132syl222anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) ) )
134133orcd 382 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A Xrm  Q ) 
||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm 
Q )  ||  (
( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) ) )
135 jm2.26 26971 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  Q  e.  NN )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm  P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm 
P ) ) )  <-> 
( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )
13666, 87, 9, 10, 135syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  ( A Yrm 
P ) )  \/  ( A Xrm  Q )  ||  ( ( A Yrm  R )  -  -u ( A Yrm  P ) ) )  <->  ( (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  Q ) 
||  ( R  -  -u P ) ) ) )
137134, 136mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
138 dvdsacongtr 26947 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 2  x.  Q )  e.  ZZ  /\  R  e.  ZZ )  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  C )  e.  ZZ )  /\  (
( 2  x.  C
)  ||  ( 2  x.  Q )  /\  ( ( 2  x.  Q )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  Q
)  ||  ( R  -  -u P ) ) ) )  ->  (
( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  P )  \/  (
2  x.  C ) 
||  ( R  -  -u P ) ) )
13948, 9, 10, 6, 107, 137, 138syl222anc 1200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( R  -  -u P ) ) )
140 acongtr 26941 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( R  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  /\  (
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  R )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u R ) )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( R  -  -u P
) ) ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) )
1416, 8, 9, 10, 45, 139, 140syl222anc 1200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) )
1427nnnn0d 10238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
1433nnnn0d 10238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  NN0 )
144 jm2.27a20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
145 elfz2nn0 11046 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... C )  <->  ( B  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  B  <_  C ) )
146142, 143, 144, 145syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ( 0 ... C ) )
14795nnnn0d 10238 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
148 rmygeid 26927 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  P  e.  NN0 )  ->  P  <_  ( A Yrm  P ) )
14966, 147, 148syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  <_  ( A Yrm  P
) )
150149, 1breqtrrd 4206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  <_  C )
151 elfz2nn0 11046 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( 0 ... C )  <->  ( P  e.  NN0  /\  C  e. 
NN0  /\  P  <_  C ) )
152147, 143, 150, 151syl3anbrc 1138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ( 0 ... C ) )
153 acongeq 26946 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  NN  /\  B  e.  ( 0 ... C )  /\  P  e.  ( 0 ... C ) )  ->  ( B  =  P  <->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P
)  \/  ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  -u P
) ) ) )
1543, 146, 152, 153syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =  P  <-> 
( ( 2  x.  C )  ||  ( B  -  P )  \/  ( 2  x.  C
)  ||  ( B  -  -u P ) ) ) )
155141, 154mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  P )
156155oveq2d 6064 . 2  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  =  ( A Yrm  P ) )
1571, 156eqtr4d 2447 1  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255   -ucneg 9256   NNcn 9964   2c2 10013   NN0cn0 10185   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007   ^cexp 11345    || cdivides 12815   Xrm crmx 26861   Yrm crmy 26862
This theorem is referenced by:  jm2.27b  26975
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-numer 13090  df-denom 13091  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415  df-squarenn 26802  df-pell1qr 26803  df-pell14qr 26804  df-pell1234qr 26805  df-pellfund 26806  df-rmx 26863  df-rmy 26864
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