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Theorem jm2.27c 27203
Description: Lemma for jm2.27 27204. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27c4  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
jm2.27c5  |-  D  =  ( A Xrm  B )
jm2.27c6  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
jm2.27c7  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c8  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c9  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
jm2.27c10  |-  H  =  ( G Yrm  B )
jm2.27c11  |-  I  =  ( G Xrm  B )
jm2.27c12  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
Assertion
Ref Expression
jm2.27c  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4  |-  D  =  ( A Xrm  B )
2 jm2.27a1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
43nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5 frmx 27101 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
65fovcl 5965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
B )  e.  NN0 )
72, 4, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  B )  e. 
NN0 )
81, 7syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
9 jm2.27c7 . . . 4  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
10 2z 10070 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
1413nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1512, 14eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  ZZ )
164, 15zmulcld 10139 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  ZZ )
1711, 16syl5eqel 2380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
18 zmulcl 10082 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
1910, 17, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
20 frmy 27102 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2120fovcl 5965 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
222, 19, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
23 rmy0 27117 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
242, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
25 2nn 9893 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
2612, 13eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  NN )
273, 26nnmulcld 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  NN )
2811, 27syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
29 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3025, 28, 29sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3130nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  Q ) )
33 0z 10051 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
3433a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
35 lermy 27145 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
362, 34, 19, 35syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3732, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
3824, 37eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
39 elnn0z 10052 . . . . 5  |-  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  e.  NN0  <->  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
4022, 38, 39sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
419, 40syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
42 jm2.27c8 . . . 4  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
435fovcl 5965 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
442, 19, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
4542, 44syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
468, 41, 453jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0  /\  F  e.  NN0 ) )
47 2nn0 9998 . . . 4  |-  2  e.  NN0
48 jm2.27c9 . . . . 5  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
4945nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5049sqvald 11258 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
5145, 45nn0mulcld 10039 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  NN0 )
5250, 51eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
53 eluz2b2 10306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
5453simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
552, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5655nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
5756nn0red 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5845nn0red 10035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
5958, 58remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  RR )
60 rmx1 27114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
612, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
6230nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  x.  Q ) )
63 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
65 lermxnn0 27140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  NN0  /\  ( 2  x.  Q )  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Xrm  1 )  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
662, 64, 31, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
6762, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6861, 67eqbrtrrd 4061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6968, 42syl6breqr 4079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  F )
7045nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  F )
71 rmxnn 27141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
722, 19, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
7342, 72syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
7473nnge1d 9804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  F )
7558, 58, 70, 74lemulge12d 9711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  <_  ( F  x.  F ) )
7657, 58, 59, 69, 75letrd 8989 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F  x.  F ) )
7776, 50breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F ^ 2 ) )
78 nn0sub 10030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7956, 52, 78syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
8077, 79mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  NN0 )
8152, 80nn0mulcld 10039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )
82 uzaddcl 10291 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )  -> 
( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
832, 81, 82syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8448, 83syl5eqel 2380 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluznn0 10304 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  G  e.  NN0 )
8647, 84, 85sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
87 jm2.27c10 . . . 4  |-  H  =  ( G Yrm  B )
8820fovcl 5965 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Yrm 
B )  e.  ZZ )
8984, 4, 88syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e.  ZZ )
90 rmy0 27117 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
9184, 90syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
923nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
9392nn0ge0d 10037 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
94 lermy 27145 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  B
) ) )
9584, 34, 4, 94syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
B ) ) )
9693, 95mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  B ) )
9791, 96eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G Yrm  B
) )
98 elnn0z 10052 . . . . 5  |-  ( ( G Yrm  B )  e.  NN0  <->  (
( G Yrm  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( G Yrm  B ) ) )
9989, 97, 98sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e. 
NN0 )
10087, 99syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
101 jm2.27c11 . . . 4  |-  I  =  ( G Xrm  B )
1025fovcl 5965 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Xrm 
B )  e.  NN0 )
10384, 4, 102syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Xrm  B )  e. 
NN0 )
104101, 103syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
10586, 100, 1043jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN0  /\  H  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )
106 jm2.27c12 . . . 4  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
107 iddvds 12558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( A Yrm  B ) )  e.  ZZ  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
10816, 107syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
109108, 11syl6breqr 4079 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q )
110 jm2.20nn 27193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( B  x.  ( A Yrm  B ) ) 
||  Q ) )
1112, 28, 3, 110syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q ) )
112109, 111mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
113 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  B )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11415, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11520fovcl 5965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
Q )  e.  ZZ )
1162, 17, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )
11710a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
118 dvdscmul 12571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
119114, 116, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
120112, 119mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) ) )
121 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ )
12210, 116, 121sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ )
1235fovcl 5965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
Q )  e.  NN0 )
1242, 17, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e. 
NN0 )
125124nn0zd 10131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
126 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
127122, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
128 rmydbl 27128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
1292, 17, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
130 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
131130a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
132124nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  CC )
133116zcnd 10134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  CC )
134131, 132, 133mul32d 9038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm 
Q ) ) )
135129, 134eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
136127, 135breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
137 zmulcl 10082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
13810, 114, 137sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
139 dvdstr 12578 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
140138, 122, 22, 139syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) ) ) )
141120, 136, 140mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
14212oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )
143142oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
1449a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
145141, 143, 1443brtr4d 4069 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) 
||  E )
1469, 22syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14730nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  Q ) )
148 ltrmy 27142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
1492, 34, 19, 148syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
150147, 149mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
15124eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( A Yrm  0 ) )
152150, 151, 1443brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
153 elnnz 10050 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  NN  <->  ( E  e.  ZZ  /\  0  < 
E ) )
154146, 152, 153sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
15513nnsqcld 11281 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
156 nnmulcl 9785 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
15725, 155, 156sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
158 nndivdvds 12553 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
159154, 157, 158syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
160145, 159mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  NN )
161 nnm1nn0 10021 . . . . 5  |-  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN  ->  (
( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
162160, 161syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
163106, 162syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
1641oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )
165164a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 ) )
166142oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
167165, 166oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  B ) ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) ) )
168 rmxynorm 27106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
1692, 4, 168syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
170167, 169eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
17142oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( F ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
1729oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( E ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
173172oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^
2 ) )
174171, 173oveq12i 5886 . . . . . 6  |-  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )
175 rmxynorm 27106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
1762, 19, 175syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
177174, 176syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
178170, 177, 843jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
179101oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( I ^ 2 )  =  ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )
18087oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( H ^ 2 )  =  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 )
181180oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) )  =  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) )
182179, 181oveq12i 5886 . . . . . 6  |-  ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
183 rmxynorm 27106 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
18484, 4, 183syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
185182, 184syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
186106a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  1 ) )
187186oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
188146zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
189157nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
190157nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =/=  0 )
191188, 189, 190divcld 9552 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC )
192 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
193 npcan 9076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
194191, 192, 193sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
195187, 194eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
196195oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
197188, 189, 190divcan1d 9553 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  E )
198196, 197eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
19945nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
20080nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  ZZ )
201199, 200zmulcld 10139 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
202 dvdsmul1 12566 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
203199, 201, 202syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
20448oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( G  -  A )  =  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)
20556nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
20681nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  CC )
207205, 206pncan2d 9175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20850oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( ( F  x.  F )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20980nn0cnd 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  CC )
21049, 49, 209mulassd 8874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  F )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
211207, 208, 2103eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
212204, 211syl5eq 2340 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
213203, 212breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
214185, 198, 2133jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A ) ) )
215 zmulcl 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
21610, 14, 215sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
217 eluzelz 10254 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2182, 217syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21981nn0zd 10131 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
220 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
221 zsubcl 10077 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
222220, 218, 221sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
223 zmulcl 10082 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  x.  ( 1  -  A
) )  e.  ZZ )
224220, 222, 223sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )
225 congid 27161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
226216, 218, 225syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
22752nn0zd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
228220a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22913nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
230131, 229, 229mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C  x.  C ) ) )
231229sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
232231oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  x.  C
) ) )
233230, 232eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
234233, 145eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E )
235 muldvds1 12569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E  ->  ( 2  x.  C ) 
||  E ) )
236216, 14, 146, 235syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
)
237234, 236mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
238 zsqcl 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
239218, 238syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
240 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
241239, 240syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
242241, 146zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ )
243 dvdsmultr2 12580 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
244216, 242, 146, 243syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
245237, 244mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
246188sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
247246oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E
) ) )
248205sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
249 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
250248, 192, 249sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
251250, 188, 188mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E ) ) )
252247, 251eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
253245, 252breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
25449sqcld 11259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
255188sqcld 11259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
256250, 255mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
257192a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
258 subsub23 9072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
259254, 256, 257, 258syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
260177, 259mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
261253, 260breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( F ^ 2 )  - 
1 ) )
262 congsub 27160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
263216, 227, 228, 218, 218, 261, 226, 262syl322anc 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
264 congmul 27157 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  -  (
1  -  A ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
265216, 227, 228, 200, 222, 261, 263, 264syl322anc 1210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
266 congadd 27156 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
)  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  -  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
267216, 218, 218, 219, 224, 226, 265, 266syl322anc 1210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
26848a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
269222zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
270269mulid2d 8869 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  A ) )
271270oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A ) ) )  =  ( A  +  ( 1  -  A ) ) )
272 pncan3 9075 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
273205, 192, 272sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
274271, 273eqtr2d 2329 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
275268, 274oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  =  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  ( A  +  ( 1  x.  (
1  -  A ) ) ) ) )
276267, 275breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
277 jm2.15nn0 27199 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  A )  ||  (
( G Yrm  B )  -  ( A Yrm  B ) ) )
27884, 2, 92, 277syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( ( G Yrm 
B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
27987a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  B ) )
280279, 12oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
281278, 280breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( H  -  C ) )
282 eluzelz 10254 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  G  e.  ZZ )
28384, 282syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
284283, 218zsubcld 10138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  e.  ZZ )
28587, 89syl5eqel 2380 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
286285, 14zsubcld 10138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  e.  ZZ )
287 dvdstr 12578 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( G  -  A
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
||  ( G  -  A )  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C
) )  ->  F  ||  ( H  -  C
) ) )
288199, 284, 286, 287syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  ||  ( G  -  A
)  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C )
)  ->  F  ||  ( H  -  C )
) )
289213, 281, 288mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
290 jm2.16nn0 27200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  B )  -  B ) )
29184, 92, 290syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  B )  -  B
) )
29287oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( H  -  B )  =  ( ( G Yrm  B )  -  B )
293291, 292syl6breqr 4079 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B ) )
294 peano2zm 10078 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
295283, 294syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
296285, 4zsubcld 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  -  B
)  e.  ZZ )
297 dvdstr 12578 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  B ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) ) )
298216, 295, 296, 297syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B ) ) )
299276, 293, 298mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
300 rmygeid 27154 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  <_  ( A Yrm  B ) )
3012, 92, 300syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A Yrm  B
) )
302301, 12breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
303299, 302jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) )
304276, 289, 303jca31 520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) )
305178, 214, 304jca31 520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) )
306163, 305jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  NN0  /\  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) )
30746, 105, 306jca31 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Xrm crmx 27088   Yrm crmy 27089
This theorem is referenced by:  jm2.27  27204
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-numer 12822  df-denom 12823  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-squarenn 27029  df-pell1qr 27030  df-pell14qr 27031  df-pell1234qr 27032  df-pellfund 27033  df-rmx 27090  df-rmy 27091
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