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Theorem jm2.27c 27100
Description: Lemma for jm2.27 27101. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
jm2.27a2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
jm2.27a3  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
jm2.27c4  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
jm2.27c5  |-  D  =  ( A Xrm  B )
jm2.27c6  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
jm2.27c7  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c8  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
jm2.27c9  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
jm2.27c10  |-  H  =  ( G Yrm  B )
jm2.27c11  |-  I  =  ( G Xrm  B )
jm2.27c12  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
Assertion
Ref Expression
jm2.27c  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.27c
StepHypRef Expression
1 jm2.27c5 . . . 4  |-  D  =  ( A Xrm  B )
2 jm2.27a1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
3 jm2.27a2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
43nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
5 frmx 26998 . . . . . 6  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
65fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
B )  e.  NN0 )
72, 4, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  B )  e. 
NN0 )
81, 7syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
9 jm2.27c7 . . . 4  |-  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )
10 2z 10054 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
11 jm2.27c6 . . . . . . . 8  |-  Q  =  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )
12 jm2.27c4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  =  ( A Yrm  B ) )
13 jm2.27a3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  NN )
1413nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1512, 14eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  ZZ )
164, 15zmulcld 10123 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  ZZ )
1711, 16syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
18 zmulcl 10066 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
1910, 17, 18sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  ZZ )
20 frmy 26999 . . . . . . 7  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2120fovcl 5949 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
222, 19, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )
23 rmy0 27014 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
242, 23syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  =  0 )
25 2nn 9877 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
2612, 13eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  B )  e.  NN )
273, 26nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  e.  NN )
2811, 27syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN )
29 nnmulcl 9769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  Q  e.  NN )  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3025, 28, 29sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN )
3130nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  Q
)  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 2  x.  Q ) )
33 0z 10035 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
3433a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
35 lermy 27042 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
362, 34, 19, 35syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
3732, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
3824, 37eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
39 elnn0z 10036 . . . . 5  |-  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  e.  NN0  <->  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
4022, 38, 39sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
419, 40syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  NN0 )
42 jm2.27c8 . . . 4  |-  F  =  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )
435fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
442, 19, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e. 
NN0 )
4542, 44syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  NN0 )
468, 41, 453jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  NN0  /\  E  e.  NN0  /\  F  e.  NN0 ) )
47 2nn0 9982 . . . 4  |-  2  e.  NN0
48 jm2.27c9 . . . . 5  |-  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
4945nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
5049sqvald 11242 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
5145, 45nn0mulcld 10023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  NN0 )
5250, 51eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )
53 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
5453simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
552, 54syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5655nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
5756nn0red 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5845nn0red 10019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
5958, 58remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  x.  F
)  e.  RR )
60 rmx1 27011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
612, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  =  A )
6230nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 2  x.  Q ) )
63 1nn0 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
6463a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  e.  NN0 )
65 lermxnn0 27037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  e.  NN0  /\  ( 2  x.  Q )  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Xrm  1 )  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
662, 64, 31, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
6762, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  1 )  <_ 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6861, 67eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) )
6968, 42syl6breqr 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  <_  F )
7045nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  F )
71 rmxnn 27038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
722, 19, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  NN )
7342, 72syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
7473nnge1d 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <_  F )
7558, 58, 70, 74lemulge12d 9695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  <_  ( F  x.  F ) )
7657, 58, 59, 69, 75letrd 8973 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F  x.  F ) )
7776, 50breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  ( F ^ 2 ) )
78 nn0sub 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  ( F ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
7956, 52, 78syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  <_  ( F ^ 2 )  <->  ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  NN0 ) )
8077, 79mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  NN0 )
8152, 80nn0mulcld 10023 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )
82 uzaddcl 10275 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  NN0 )  -> 
( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
832, 81, 82syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
8448, 83syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluznn0 10288 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  G  e.  NN0 )
8647, 84, 85sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  NN0 )
87 jm2.27c10 . . . 4  |-  H  =  ( G Yrm  B )
8820fovcl 5949 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Yrm 
B )  e.  ZZ )
8984, 4, 88syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e.  ZZ )
90 rmy0 27014 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
9184, 90syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  =  0 )
923nnnn0d 10018 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
9392nn0ge0d 10021 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  B )
94 lermy 27042 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm  B
) ) )
9584, 34, 4, 94syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  B  <->  ( G Yrm  0 )  <_  ( G Yrm 
B ) ) )
9693, 95mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  0 )  <_ 
( G Yrm  B ) )
9791, 96eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( G Yrm  B
) )
98 elnn0z 10036 . . . . 5  |-  ( ( G Yrm  B )  e.  NN0  <->  (
( G Yrm  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( G Yrm  B ) ) )
9989, 97, 98sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Yrm  B )  e. 
NN0 )
10087, 99syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  NN0 )
101 jm2.27c11 . . . 4  |-  I  =  ( G Xrm  B )
1025fovcl 5949 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( G Xrm 
B )  e.  NN0 )
10384, 4, 102syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G Xrm  B )  e. 
NN0 )
104101, 103syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  NN0 )
10586, 100, 1043jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN0  /\  H  e.  NN0  /\  I  e.  NN0 ) )
106 jm2.27c12 . . . 4  |-  J  =  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )
107 iddvds 12542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( A Yrm  B ) )  e.  ZZ  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
10816, 107syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) ) )
109108, 11syl6breqr 4063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q )
110 jm2.20nn 27090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  (
( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q )  <->  ( B  x.  ( A Yrm  B ) ) 
||  Q ) )
1112, 28, 3, 110syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  <-> 
( B  x.  ( A Yrm 
B ) )  ||  Q ) )
112109, 111mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  ||  ( A Yrm  Q ) )
113 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Yrm  B )  e.  ZZ  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11415, 113syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
11520fovcl 5949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm 
Q )  e.  ZZ )
1162, 17, 115syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )
11710a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
118 dvdscmul 12555 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
119114, 116, 117, 118syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) 
||  ( A Yrm  Q )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) ) )
120112, 119mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) ) )
121 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  Q )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ )
12210, 116, 121sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ )
1235fovcl 5949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm 
Q )  e.  NN0 )
1242, 17, 123syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e. 
NN0 )
125124nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )
126 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Xrm  Q )  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
127122, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
128 rmydbl 27025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  Q  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm 
Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
1292, 17, 128syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) ) )
130 2cn 9816 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
131130a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
132124nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Xrm  Q )  e.  CC )
133116zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  Q )  e.  CC )
134131, 132, 133mul32d 9022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( A Xrm  Q ) )  x.  ( A Yrm  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm 
Q ) ) )
135129, 134eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  =  ( ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  x.  ( A Xrm  Q ) ) )
136127, 135breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( A Yrm 
Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
137 zmulcl 10066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  e.  ZZ )
13810, 114, 137sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ )
139 dvdstr 12562 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  e.  ZZ  /\  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) )  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) 
||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) ) 
||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
140138, 122, 22, 139syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  /\  ( 2  x.  ( A Yrm  Q ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )  ->  (
2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q
) ) ) )
141120, 136, 140mp2and 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) )  ||  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
14212oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) )
143142oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
1449a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  =  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
145141, 143, 1443brtr4d 4053 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) 
||  E )
1469, 22syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
14730nngt0d 9789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 2  x.  Q ) )
148 ltrmy 27039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  0  e.  ZZ  /\  ( 2  x.  Q )  e.  ZZ )  ->  (
0  <  ( 2  x.  Q )  <->  ( A Yrm  0 )  <  ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
1492, 34, 19, 148syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
2  x.  Q )  <-> 
( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ) )
150147, 149mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A Yrm  0 )  < 
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) )
15124eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  =  ( A Yrm  0 ) )
152150, 151, 1443brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  E )
153 elnnz 10034 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  NN  <->  ( E  e.  ZZ  /\  0  < 
E ) )
154146, 152, 153sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
15513nnsqcld 11265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  NN )
156 nnmulcl 9769 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  ( C ^ 2 )  e.  NN )  -> 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
15725, 155, 156sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )
158 nndivdvds 12537 . . . . . . 7  |-  ( ( E  e.  NN  /\  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  NN )  -> 
( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
159154, 157, 158syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  ||  E  <->  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN ) )
160145, 159mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  NN )
161 nnm1nn0 10005 . . . . 5  |-  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  e.  NN  ->  (
( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
162160, 161syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  e.  NN0 )
163106, 162syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  NN0 )
1641oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )
165164a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  B ) ^ 2 ) )
166142oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
167165, 166oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  B ) ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) ) )
168 rmxynorm 27003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
1692, 4, 168syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
170167, 169eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1 )
17142oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( F ^ 2 )  =  ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
1729oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( E ^ 2 )  =  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )
173172oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^
2 ) )
174171, 173oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )
175 rmxynorm 27003 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
2  x.  Q )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
1762, 19, 175syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( A Xrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( A Yrm  ( 2  x.  Q ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
177174, 176syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1 )
178170, 177, 843jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
179101oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( I ^ 2 )  =  ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )
18087oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( H ^ 2 )  =  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 )
181180oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) )  =  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) )
182179, 181oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )
183 rmxynorm 27003 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  (
( G Yrm  B ) ^
2 ) ) )  =  1 )
18484, 4, 183syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( G Xrm  B ) ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( ( G Yrm  B ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
185182, 184syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I ^
2 )  -  (
( ( G ^
2 )  -  1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1 )
186106a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  -  1 ) )
187186oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  -  1 )  +  1 ) )
188146zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
189157nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  e.  CC )
190157nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =/=  0 )
191188, 189, 190divcld 9536 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC )
192 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
193 npcan 9060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( E  /  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
194191, 192, 193sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  - 
1 )  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
195187, 194eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  +  1 )  =  ( E  /  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
196195oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  + 
1 )  x.  (
2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  ( ( E  /  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
197188, 189, 190divcan1d 9537 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E  / 
( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  x.  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  E )
198196, 197eqtr2d 2316 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) ) )
19945nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
20080nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  ZZ )
201199, 200zmulcld 10123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
202 dvdsmul1 12550 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( F  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
203199, 201, 202syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  ||  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
20448oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( G  -  A )  =  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)
20556nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
20681nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  CC )
207205, 206pncan2d 9159 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20850oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( ( F  x.  F )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )
20980nn0cnd 10020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  A
)  e.  CC )
21049, 49, 209mulassd 8858 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  F )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
211207, 208, 2103eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
212204, 211syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  =  ( F  x.  ( F  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
213203, 212breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( G  -  A ) )
214185, 198, 2133jca 1132 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( H ^ 2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A ) ) )
215 zmulcl 10066 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
21610, 14, 215sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  ZZ )
217 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  ZZ )
2182, 217syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
21981nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  x.  (
( F ^ 2 )  -  A ) )  e.  ZZ )
220 1z 10053 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
221 zsubcl 10061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
222220, 218, 221sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )
223 zmulcl 10066 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  x.  ( 1  -  A
) )  e.  ZZ )
224220, 222, 223sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )
225 congid 27058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
226216, 218, 225syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( A  -  A ) )
22752nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  ZZ )
228220a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
22913nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
230131, 229, 229mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C  x.  C ) ) )
231229sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
232231oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( C  x.  C
) ) )
233230, 232eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  =  ( 2  x.  ( C ^
2 ) ) )
234233, 145eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E )
235 muldvds1 12553 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  x.  C )  x.  C
)  ||  E  ->  ( 2  x.  C ) 
||  E ) )
236216, 14, 146, 235syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
)
237234, 236mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  E )
238 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
239218, 238syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
240 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
241239, 240syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
242241, 146zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ )
243 dvdsmultr2 12564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  E
)  e.  ZZ  /\  E  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
244216, 242, 146, 243syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  E  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) ) )
245237, 244mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
246188sqvald 11242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
247246oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E
) ) )
248205sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
249 subcl 9051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
250248, 192, 249sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
251250, 188, 188mulassd 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E  x.  E ) ) )
252247, 251eqtr4d 2318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  E )  x.  E ) )
253245, 252breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
25449sqcld 11243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
255188sqcld 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
256250, 255mulcld 8855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
257192a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
258 subsub23 9056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( F ^
2 )  -  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
259254, 256, 257, 258syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  <->  (
( F ^ 2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
260177, 259mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
261253, 260breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( F ^ 2 )  - 
1 ) )
262 congsub 27057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
263216, 227, 228, 218, 218, 261, 226, 262syl322anc 1210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  -  A )  -  ( 1  -  A ) ) )
264 congmul 27054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  ( F ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  e.  ZZ  /\  ( 1  -  A
)  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( ( F ^
2 )  -  1 )  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  -  A )  -  (
1  -  A ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
265216, 227, 228, 200, 222, 261, 263, 264syl322anc 1210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( (
( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) )  -  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
266 congadd 27053 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 2  x.  C )  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  /\  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  e.  ZZ  /\  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  C )  ||  ( A  -  A
)  /\  ( 2  x.  C )  ||  ( ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) )  -  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
267216, 218, 218, 219, 224, 226, 265, 266syl322anc 1210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) )  -  ( A  +  (
1  x.  ( 1  -  A ) ) ) ) )
26848a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^
2 )  -  A
) ) ) )
269222zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  A
)  e.  CC )
270269mulid2d 8853 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  (
1  -  A ) )  =  ( 1  -  A ) )
271270oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A ) ) )  =  ( A  +  ( 1  -  A ) ) )
272 pncan3 9059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
273205, 192, 272sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( 1  -  A ) )  =  1 )
274271, 273eqtr2d 2316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  =  ( A  +  ( 1  x.  ( 1  -  A
) ) ) )
275268, 274oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  =  ( ( A  +  ( ( F ^ 2 )  x.  ( ( F ^ 2 )  -  A ) ) )  -  ( A  +  ( 1  x.  (
1  -  A ) ) ) ) )
276267, 275breqtrrd 4049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( G  -  1 ) )
277 jm2.15nn0 27096 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  A  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  A )  ||  (
( G Yrm  B )  -  ( A Yrm  B ) ) )
27884, 2, 92, 277syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( ( G Yrm 
B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
27987a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  =  ( G Yrm  B ) )
280279, 12oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  =  ( ( G Yrm  B )  -  ( A Yrm 
B ) ) )
281278, 280breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  ||  ( H  -  C ) )
282 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  G  e.  ZZ )
28384, 282syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ZZ )
284283, 218zsubcld 10122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  A
)  e.  ZZ )
28587, 89syl5eqel 2367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  H  e.  ZZ )
286285, 14zsubcld 10122 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( H  -  C
)  e.  ZZ )
287 dvdstr 12562 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  ( G  -  A
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( F 
||  ( G  -  A )  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C
) )  ->  F  ||  ( H  -  C
) ) )
288199, 284, 286, 287syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F  ||  ( G  -  A
)  /\  ( G  -  A )  ||  ( H  -  C )
)  ->  F  ||  ( H  -  C )
) )
289213, 281, 288mp2and 660 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  ||  ( H  -  C ) )
290 jm2.16nn0 27097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( G  -  1 ) 
||  ( ( G Yrm  B )  -  B ) )
29184, 92, 290syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( ( G Yrm  B )  -  B
) )
29287oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( H  -  B )  =  ( ( G Yrm  B )  -  B )
293291, 292syl6breqr 4063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B ) )
294 peano2zm 10062 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  ZZ  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
295283, 294syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G  -  1 )  e.  ZZ )
296285, 4zsubcld 10122 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( H  -  B
)  e.  ZZ )
297 dvdstr 12562 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 2  x.  C
)  e.  ZZ  /\  ( G  -  1
)  e.  ZZ  /\  ( H  -  B
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 2  x.  C ) 
||  ( G  - 
1 )  /\  ( G  -  1 ) 
||  ( H  -  B ) )  -> 
( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) ) )
298216, 295, 296, 297syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  ( G  -  1 )  ||  ( H  -  B
) )  ->  (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B ) ) )
299276, 293, 298mp2and 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  ||  ( H  -  B ) )
300 rmygeid 27051 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  <_  ( A Yrm  B ) )
3012, 92, 300syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  ( A Yrm  B
) )
302301, 12breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  <_  C )
303299, 302jca 518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  C )  ||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) )
304276, 289, 303jca31 520 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) )
305178, 214, 304jca31 520 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) )
306163, 305jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  NN0  /\  ( ( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^
2 ) ) )  =  1  /\  (
( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) )
30746, 105, 306jca31 520 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  e.  NN0  /\  E  e. 
NN0  /\  F  e.  NN0 )  /\  ( G  e.  NN0  /\  H  e. 
NN0  /\  I  e.  NN0 ) )  /\  ( J  e.  NN0  /\  (
( ( ( ( D ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( C ^ 2 ) ) )  =  1  /\  ( ( F ^ 2 )  -  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  =  1  /\  G  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  ( (
( I ^ 2 )  -  ( ( ( G ^ 2 )  -  1 )  x.  ( H ^
2 ) ) )  =  1  /\  E  =  ( ( J  +  1 )  x.  ( 2  x.  ( C ^ 2 ) ) )  /\  F  ||  ( G  -  A
) ) )  /\  ( ( ( 2  x.  C )  ||  ( G  -  1
)  /\  F  ||  ( H  -  C )
)  /\  ( (
2  x.  C ) 
||  ( H  -  B )  /\  B  <_  C ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Xrm crmx 26985   Yrm crmy 26986
This theorem is referenced by:  jm2.27  27101
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930  df-rmx 26987  df-rmy 26988
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