Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Unicode version

Theorem jm2.27dlem2 27103
Description: Lemma for rmydioph 27107. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 
7  e.  ( 1 ... 10 ). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
jm2.27dlem2.2  |-  C  =  ( B  +  1 )
jm2.27dlem2.3  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2  |-  A  e.  ( 1 ... C
)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
2 elfzelz 10798 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  A  e.  ZZ
4 elfzle1 10799 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  1  <_  A )
51, 4ax-mp 8 . 2  |-  1  <_  A
63zrei 10030 . . . 4  |-  A  e.  RR
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5  |-  B  e.  NN
87nnrei 9755 . . . 4  |-  B  e.  RR
9 elfzle2 10800 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  <_  B )
101, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  A  <_  B
11 letrp1 9598 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
126, 8, 10, 11mp3an 1277 . . 3  |-  A  <_ 
( B  +  1 )
13 jm2.27dlem2.2 . . 3  |-  C  =  ( B  +  1 )
1412, 13breqtrri 4048 . 2  |-  A  <_  C
15 1z 10053 . . 3  |-  1  e.  ZZ
16 nnz 10045 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
17 peano2z 10060 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
187, 16, 17mp2b 9 . . . 4  |-  ( B  +  1 )  e.  ZZ
1913, 18eqeltri 2353 . . 3  |-  C  e.  ZZ
20 elfz1 10787 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( 1 ... C )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C ) ) )
2115, 19, 20mp2an 653 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... C )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C
) )
223, 5, 14, 21mpbir3an 1134 1  |-  A  e.  ( 1 ... C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ...cfz 10782
This theorem is referenced by:  rmydioph  27107  expdiophlem2  27115
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783
  Copyright terms: Public domain W3C validator