Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Unicode version

Theorem jm2.27dlem2 27081
Description: Lemma for rmydioph 27085. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 
7  e.  ( 1 ... 10 ). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
jm2.27dlem2.2  |-  C  =  ( B  +  1 )
jm2.27dlem2.3  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2  |-  A  e.  ( 1 ... C
)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3  |-  A  e.  ( 1 ... B
)
2 elfzelz 11059 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  e.  ZZ )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  A  e.  ZZ
4 elfzle1 11060 . . 3  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  1  <_  A )
51, 4ax-mp 8 . 2  |-  1  <_  A
63zrei 10288 . . . 4  |-  A  e.  RR
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5  |-  B  e.  NN
87nnrei 10009 . . . 4  |-  B  e.  RR
9 elfzle2 11061 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 1 ... B )  ->  A  <_  B )
101, 9ax-mp 8 . . . 4  |-  A  <_  B
11 letrp1 9852 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
126, 8, 10, 11mp3an 1279 . . 3  |-  A  <_ 
( B  +  1 )
13 jm2.27dlem2.2 . . 3  |-  C  =  ( B  +  1 )
1412, 13breqtrri 4237 . 2  |-  A  <_  C
15 1z 10311 . . 3  |-  1  e.  ZZ
16 nnz 10303 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
17 peano2z 10318 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4  |-  ( B  +  1 )  e.  ZZ
1913, 18eqeltri 2506 . . 3  |-  C  e.  ZZ
20 elfz1 11048 . . 3  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( 1 ... C )  <-> 
( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C ) ) )
2115, 19, 20mp2an 654 . 2  |-  ( A  e.  ( 1 ... C )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  1  <_  A  /\  A  <_  C
) )
223, 5, 14, 21mpbir3an 1136 1  |-  A  e.  ( 1 ... C
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    <_ cle 9121   NNcn 10000   ZZcz 10282   ...cfz 11043
This theorem is referenced by:  rmydioph  27085  expdiophlem2  27093
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator