Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1 Unicode version

Theorem jm3.1 26436
 Description: Diophantine expression for exponentiation. Lemma 3.1 of [JonesMatijasevic] p. 698. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm3.1 Yrm Xrm Yrm

Proof of Theorem jm3.1
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . 3 Yrm
2 simpl2 959 . . 3 Yrm
3 simpl3 960 . . 3 Yrm
4 simpr 447 . . 3 Yrm Yrm
51, 2, 3, 4jm3.1lem2 26434 . 2 Yrm
6 2nn0 10071 . . . . . 6
7 eluznn0 10377 . . . . . 6
86, 7mpan 651 . . . . 5
983ad2ant2 977 . . . 4
109adantr 451 . . 3 Yrm
11 nnnn0 10061 . . . 4
123, 11syl 15 . . 3 Yrm
13 jm2.18 26404 . . 3 Xrm Yrm
141, 10, 12, 13syl3anc 1182 . 2 Yrm Xrm Yrm
15 simp1 955 . . . . . . 7
16 nnz 10134 . . . . . . . 8
17163ad2ant3 978 . . . . . . 7
18 frmx 26321 . . . . . . . 8 Xrm
1918fovcl 6033 . . . . . . 7 Xrm
2015, 17, 19syl2anc 642 . . . . . 6 Xrm
2120nn0zd 10204 . . . . 5 Xrm
22 eluzelz 10327 . . . . . . . 8
23 eluzelz 10327 . . . . . . . 8
24 zsubcl 10150 . . . . . . . 8
2522, 23, 24syl2an 463 . . . . . . 7
26253adant3 975 . . . . . 6
27 frmy 26322 . . . . . . . 8 Yrm
2827fovcl 6033 . . . . . . 7 Yrm
2915, 17, 28syl2anc 642 . . . . . 6 Yrm
3026, 29zmulcld 10212 . . . . 5 Yrm
3121, 30zsubcld 10211 . . . 4 Xrm Yrm
3231adantr 451 . . 3 Yrm Xrm Yrm
331, 2, 3, 4jm3.1lem3 26435 . . 3 Yrm
34113ad2ant3 978 . . . . 5
359, 34nn0expcld 11357 . . . 4
3635adantr 451 . . 3 Yrm
37 divalgmodcl 26403 . . 3 Xrm Yrm Xrm Yrm Xrm Yrm
3832, 33, 36, 37syl3anc 1182 . 2 Yrm Xrm Yrm Xrm Yrm
395, 14, 38mpbir2and 888 1 Yrm Xrm Yrm
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1642   wcel 1710   class class class wbr 4102  cfv 5334  (class class class)co 5942  c1 8825   caddc 8827   cmul 8829   clt 8954   cle 8955   cmin 9124  cn 9833  c2 9882  cn0 10054  cz 10113  cuz 10319   cmo 11062  cexp 11194   cdivides 12622   Xrm crmx 26308   Yrm crmy 26309 This theorem is referenced by:  expdiophlem1  26437 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-omul 6568  df-er 6744  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-fi 7252  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-acn 7662  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-xneg 10541  df-xadd 10542  df-xmul 10543  df-ioo 10749  df-ioc 10750  df-ico 10751  df-icc 10752  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-fac 11379  df-bc 11406  df-hash 11428  df-shft 11652  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-limsup 12035  df-clim 12052  df-rlim 12053  df-sum 12250  df-ef 12440  df-sin 12442  df-cos 12443  df-pi 12445  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-numer 12897  df-denom 12898  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-rest 13420  df-topn 13421  df-topgen 13437  df-pt 13438  df-prds 13441  df-xrs 13496  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-qtop 13503  df-imas 13504  df-xps 13506  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-submnd 14509  df-mulg 14585  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-xmet 16469  df-met 16470  df-bl 16471  df-mopn 16472  df-fbas 16473  df-fg 16474  df-cnfld 16477  df-top 16736  df-bases 16738  df-topon 16739  df-topsp 16740  df-cld 16856  df-ntr 16857  df-cls 16858  df-nei 16935  df-lp 16968  df-perf 16969  df-cn 17057  df-cnp 17058  df-haus 17143  df-tx 17357  df-hmeo 17546  df-fil 17637  df-fm 17729  df-flim 17730  df-flf 17731  df-xms 17981  df-ms 17982  df-tms 17983  df-cncf 18479  df-limc 19314  df-dv 19315  df-log 20015  df-squarenn 26249  df-pell1qr 26250  df-pell14qr 26251  df-pell1234qr 26252  df-pellfund 26253  df-rmx 26310  df-rmy 26311
 Copyright terms: Public domain W3C validator