MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Unicode version

Theorem join0 14492
Description: Lemma for odumeet 14494. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0  |-  ( join `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem join0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4280 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 base0 13433 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3 eqid 2387 . . . 4  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
4 eqid 2387 . . . 4  |-  ( join `  (/) )  =  (
join `  (/) )
52, 3, 4joinfval 14371 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( join `  (/) )  =  (
a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) ) )
61, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( join `  (/) )  =  ( a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) )
7 mpt20 6366 . 2  |-  ( a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) )  =  (/)
86, 7eqtri 2407 1  |-  ( join `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   {cpr 3758   ` cfv 5394    e. cmpt2 6022   lubclub 14326   joincjn 14328
This theorem is referenced by:  odujoin  14496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-slot 13400  df-base 13401  df-join 14360
  Copyright terms: Public domain W3C validator