MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Unicode version

Theorem join0 14258
Description: Lemma for odumeet 14260. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0  |-  ( join `  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem join0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 4166 . . 3  |-  (/)  e.  _V
2 base0 13201 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( lub `  (/) )  =  ( lub `  (/) )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( join `  (/) )  =  (
join `  (/) )
52, 3, 4joinfval 14137 . . 3  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( join `  (/) )  =  (
a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) ) )
61, 5ax-mp 8 . 2  |-  ( join `  (/) )  =  ( a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) )
7 mpt20 6215 . 2  |-  ( a  e.  (/) ,  b  e.  (/)  |->  ( ( lub `  (/) ) `  {
a ,  b } ) )  =  (/)
86, 7eqtri 2316 1  |-  ( join `  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   (/)c0 3468   {cpr 3654   ` cfv 5271    e. cmpt2 5876   lubclub 14092   joincjn 14094
This theorem is referenced by:  odujoin  14262
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-slot 13168  df-base 13169  df-join 14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator