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Theorem joinle 14143
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)

Proof of Theorem joinle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinlem 14140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
54simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
6 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
7 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
86, 7anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
9 breq2 4043 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .\/  Y
)  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
108, 9imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Z ) ) )
1110rspccv 2894 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  z )  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) )
125, 11syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) ) )
1312ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
1413com23 72 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
15143exp 1150 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) ) ) )
16153impd 1165 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
17163imp 1145 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
181, 2, 3lejoin1 14141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
1918ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
20193adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
21203impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
221, 2postr 14103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
)
23223exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) ) )
2423com34 77 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
) ) ) )
2524imp32 422 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
26253adantr2 1115 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
27263impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
2821, 27mpand 656 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  X  .<_  Z ) )
291, 2, 3lejoin2 14142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
3029ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
31303adant3r3 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
32313impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2postr 14103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
)
34333exp2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) ) ) )
3534com34 77 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) ) ) )
36353imp 1145 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) )
37363adant3r1 1160 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) )
38373impia 1148 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Y 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) )
3932, 38mpand 656 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  Y  .<_  Z ) )
4028, 39jcad 519 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
4117, 40impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   joincjn 14094
This theorem is referenced by:  latjle12  14184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126
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