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Theorem joinle 14442
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)

Proof of Theorem joinle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinlem 14439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
54simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
6 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
7 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
86, 7anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
9 breq2 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .\/  Y
)  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
108, 9imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Z ) ) )
1110rspccv 3041 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  z )  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) ) )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
1413com23 74 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
15143exp 1152 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) ) ) )
16153impd 1167 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
17163imp 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
181, 2, 3lejoin1 14440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
1918ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
20193adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
21203impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
221, 2postr 14402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
)
23223exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) ) )
2423com34 79 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
) ) ) )
2524imp32 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
26253adantr2 1117 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
27263impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
2821, 27mpand 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  X  .<_  Z ) )
291, 2, 3lejoin2 14441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
3029ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
31303adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
32313impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2postr 14402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
)
34333exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) ) ) )
3534com34 79 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) ) ) )
36353imp 1147 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) )
37363adant3r1 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) )
38373impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Y 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) )
3932, 38mpand 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  Y  .<_  Z ) )
4028, 39jcad 520 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
4117, 40impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   Posetcpo 14389   joincjn 14393
This theorem is referenced by:  latjle12  14483
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425
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