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Theorem joinle 14378
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)

Proof of Theorem joinle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinlem 14375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
54simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
6 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
7 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
86, 7anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
9 breq2 4158 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .\/  Y
)  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
108, 9imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Z ) ) )
1110rspccv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  z )  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) ) )
1312ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
1413com23 74 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
15143exp 1152 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) ) ) )
16153impd 1167 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
17163imp 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
181, 2, 3lejoin1 14376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
1918ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
20193adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
21203impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
221, 2postr 14338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
)
23223exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) ) )
2423com34 79 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
) ) ) )
2524imp32 423 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
26253adantr2 1117 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
27263impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
2821, 27mpand 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  X  .<_  Z ) )
291, 2, 3lejoin2 14377 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
3029ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
31303adant3r3 1164 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
32313impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2postr 14338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
)
34333exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) ) ) )
3534com34 79 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) ) ) )
36353imp 1147 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) )
37363adant3r1 1162 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) )
38373impia 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Y 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) )
3932, 38mpand 657 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  Y  .<_  Z ) )
4028, 39jcad 520 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
4117, 40impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   Basecbs 13397   lecple 13464   Posetcpo 14325   joincjn 14329
This theorem is referenced by:  latjle12  14419
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-lub 14359  df-join 14361
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