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Theorem joinle 14455
Description: A join is less than or equal to a third value iff each argument is less than or equal to the third value. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinle  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)

Proof of Theorem joinle
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . . . . 10  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinlem 14452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
54simprd 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
6 breq2 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( X  .<_  z  <->  X  .<_  Z ) )
7 breq2 4219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .<_  z  <->  Y  .<_  Z ) )
86, 7anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  <->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
9 breq2 4219 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  .\/  Y
)  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
108, 9imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  Z ) ) )
1110rspccv 3051 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  -> 
( X  .\/  Y
)  .<_  z )  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) )
125, 11syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) ) )
1312ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
1413com23 75 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
15143exp 1153 . . . 4  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) ) ) )
16153impd 1168 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
) ) )
17163imp 1148 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z ) )
181, 2, 3lejoin1 14453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
1918ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
20193adant3r3 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  X  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
21203impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
221, 2postr 14415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
)
23223exp2 1172 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) ) ) )
2423com34 80 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( X  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z )
) ) ) )
2524imp32 424 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
26253adantr2 1118 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) ) )
27263impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  X  .<_  Z ) )
2821, 27mpand 658 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  X  .<_  Z ) )
291, 2, 3lejoin2 14454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
3029ex 425 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
31303adant3r3 1165 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) )
32313impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )
331, 2postr 14415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( Y  e.  B  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B  /\  Z  e.  B ) )  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
)
34333exp2 1172 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X 
.\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y ) 
.<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) ) ) )
3534com34 80 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( Y  e.  B  ->  ( Z  e.  B  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) ) ) )
36353imp 1148 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  ->  (
( X  .\/  Y
)  e.  B  -> 
( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z )
) )
37363adant3r1 1163 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )
)  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  ( ( Y  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  ( X 
.\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) ) )
38373impia 1151 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( Y 
.<_  ( X  .\/  Y
)  /\  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )  ->  Y  .<_  Z ) )
3932, 38mpand 658 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  Y  .<_  Z ) )
4028, 39jcad 521 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.\/  Y )  .<_  Z  ->  ( X  .<_  Z  /\  Y  .<_  Z ) ) )
4117, 40impbid 185 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  Z  e.  B )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  B )  ->  ( ( X 
.<_  Z  /\  Y  .<_  Z )  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  Z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   Posetcpo 14402   joincjn 14406
This theorem is referenced by:  latjle12  14496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-lub 14436  df-join 14438
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