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Theorem joinlem 14437
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinlem  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, 
.\/    z, K    z,  .<_    z, X    z, Y
Allowed substitution hint:    A( z)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinval2 14436 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
54eleq1d 2501 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  <->  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B ) )
6 fvex 5734 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2505 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
87riotaclb 6582 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
9 riotasbc 6557 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
108, 9sylbir 205 . . . . 5  |-  ( (
iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
115, 10syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
12 dfsbcq 3155 . . . . 5  |-  ( ( X  .\/  Y )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( [. ( X  .\/  Y )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
134, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( [. ( X 
.\/  Y )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1411, 13sylibrd 226 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  [. ( X  .\/  Y
)  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
15 ovex 6098 . . . 4  |-  ( X 
.\/  Y )  e. 
_V
16 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( X  .<_  x  <->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) )
17 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( Y  .<_  x  <->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  <->  ( X  .<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) ) )
19 breq1 4207 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( x  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2120ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2218, 21anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) ) )
2315, 22sbcie 3187 . . 3  |-  ( [. ( X  .\/  Y )  /  x ]. (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2414, 23syl6ib 218 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) ) )
2524imp 419 1  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E!wreu 2699   _Vcvv 2948   [.wsbc 3153   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13459   lecple 13526   joincjn 14391
This theorem is referenced by:  lejoin1  14438  lejoin2  14439  joinle  14440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14421  df-join 14423
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