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Theorem joinlem 14374
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinlem  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, 
.\/    z, K    z,  .<_    z, X    z, Y
Allowed substitution hint:    A( z)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval2.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 joinval2.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinval2 14373 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
54eleq1d 2453 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  <->  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B ) )
6 fvex 5682 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2457 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
87riotaclb 6526 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
9 riotasbc 6501 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  B  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
108, 9sylbir 205 . . . . 5  |-  ( (
iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
115, 10syl6bi 220 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  [. ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
12 dfsbcq 3106 . . . . 5  |-  ( ( X  .\/  Y )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( [. ( X  .\/  Y )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
134, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( [. ( X 
.\/  Y )  /  x ]. ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <->  [. ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1411, 13sylibrd 226 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  ->  [. ( X  .\/  Y
)  /  x ]. ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
15 ovex 6045 . . . 4  |-  ( X 
.\/  Y )  e. 
_V
16 breq2 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( X  .<_  x  <->  X  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) )
17 breq2 4157 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( Y  .<_  x  <->  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) ) )
1816, 17anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  <->  ( X  .<_  ( X  .\/  Y
)  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) ) ) )
19 breq1 4156 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( x  .<_  z  <->  ( X  .\/  Y )  .<_  z )
)
2019imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2120ralbidv 2669 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2218, 21anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( X  .\/  Y )  ->  ( (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) ) )
2315, 22sbcie 3138 . . 3  |-  ( [. ( X  .\/  Y )  /  x ]. (
( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) )  <-> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
2414, 23syl6ib 218 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  B  -> 
( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X 
.\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) ) )
2524imp 419 1  |-  ( ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  ( X  .\/  Y )  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  ( X  .\/  Y )  /\  Y  .<_  ( X  .\/  Y ) )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  ( X  .\/  Y )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   E!wreu 2651   _Vcvv 2899   [.wsbc 3104   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   iota_crio 6478   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328
This theorem is referenced by:  lejoin1  14375  lejoin2  14376  joinle  14377
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-lub 14358  df-join 14360
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