MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinval Unicode version

Theorem joinval 14138
Description: Value of join for a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
joinval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( U `
 { X ,  Y } ) )

Proof of Theorem joinval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 joinval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 joinval.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinfval 14137 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  .\/  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( U `  {
x ,  y } ) ) )
54oveqd 5891 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( X ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( U `
 { x ,  y } ) ) Y ) )
6 preq1 3719 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  { x ,  y }  =  { X ,  y } )
76fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  ( U `  { x ,  y } )  =  ( U `  { X ,  y } ) )
8 preq2 3720 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  { X ,  y }  =  { X ,  Y }
)
98fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  ( U `  { X ,  y } )  =  ( U `  { X ,  Y }
) )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( U `
 { x ,  y } ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( U `  { x ,  y } ) )
11 fvex 5555 . . . 4  |-  ( U `
 { X ,  Y } )  e.  _V
127, 9, 10, 11ovmpt2 5999 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( U `
 { x ,  y } ) ) Y )  =  ( U `  { X ,  Y } ) )
135, 12sylan9eq 2348 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( X  .\/  Y )  =  ( U `  { X ,  Y }
) )
14133impb 1147 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( U `
 { X ,  Y } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cpr 3654   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   Basecbs 13164   lubclub 14092   joincjn 14094
This theorem is referenced by:  joinval2  14139  joincomALT  14151  lubsn  14216  clatl  14236
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-join 14126
  Copyright terms: Public domain W3C validator