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Theorem joinval2 14139
Description: Value of join for a poset with GLB expanded. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinval2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x,  .\/ , z    x, K, z    x,  .<_ , z    x, X, z    x, Y, z
Allowed substitution hints:    A( x, z)

Proof of Theorem joinval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 joinval2.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinval 14138 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( ( lub `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
5 prssi 3787 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  C_  B )
6 joinval2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2lubval 14129 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  { X ,  Y }  C_  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
85, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
9 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
10 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  x  <->  Y  .<_  x ) )
119, 10ralprg 3695 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  <->  ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x ) ) )
12 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  z  <->  X  .<_  z ) )
13 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  z  <->  Y  .<_  z ) )
1412, 13ralprg 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  z  <->  ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z ) ) )
1514imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1615ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1817riotabidv 6322 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1918adantl 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  (
iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
208, 19eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
21203impb 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
224, 21eqtrd 2328 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {cpr 3654   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   lubclub 14092   joincjn 14094
This theorem is referenced by:  joinlem  14140
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-lub 14124  df-join 14126
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