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Theorem joinval2 14123
Description: Value of join for a poset with GLB expanded. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinval2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x,  .\/ , z    x, K, z    x,  .<_ , z    x, X, z    x, Y, z
Allowed substitution hints:    A( x, z)

Proof of Theorem joinval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 joinval2.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinval 14122 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( ( lub `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
5 prssi 3771 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  C_  B )
6 joinval2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2lubval 14113 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  { X ,  Y }  C_  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
85, 7sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
9 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
10 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  x  <->  Y  .<_  x ) )
119, 10ralprg 3682 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  <->  ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x ) ) )
12 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  z  <->  X  .<_  z ) )
13 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  z  <->  Y  .<_  z ) )
1412, 13ralprg 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  z  <->  ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z ) ) )
1514imbi1d 308 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1615ralbidv 2563 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1817riotabidv 6306 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1918adantl 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  (
iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
208, 19eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
21203impb 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
224, 21eqtrd 2315 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {cpr 3641   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   lubclub 14076   joincjn 14078
This theorem is referenced by:  joinlem  14124
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-lub 14108  df-join 14110
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