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Theorem joinval2 14439
Description: Value of join for a poset with GLB expanded. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
joinval2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
joinval2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
Assertion
Ref Expression
joinval2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x,  .\/ , z    x, K, z    x,  .<_ , z    x, X, z    x, Y, z
Allowed substitution hints:    A( x, z)

Proof of Theorem joinval2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2436 . . 3  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
3 joinval2.j . . 3  |-  .\/  =  ( join `  K )
41, 2, 3joinval 14438 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( ( lub `  K ) `
 { X ,  Y } ) )
5 prssi 3947 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  { X ,  Y }  C_  B )
6 joinval2.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
71, 6, 2lubval 14429 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  A  /\  { X ,  Y }  C_  B )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
85, 7sylan2 461 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
9 breq1 4208 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
10 breq1 4208 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  x  <->  Y  .<_  x ) )
119, 10ralprg 3850 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  <->  ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x ) ) )
12 breq1 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  X  ->  (
y  .<_  z  <->  X  .<_  z ) )
13 breq1 4208 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .<_  z  <->  Y  .<_  z ) )
1412, 13ralprg 3850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  z  <->  ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z ) ) )
1514imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1615ralbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  (
( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1817riotabidv 6544 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e. 
{ X ,  Y } y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X 
.<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1918adantl 453 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  { X ,  Y }
y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  { X ,  Y } y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  (
iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
208, 19eqtrd 2468 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
21203impb 1149 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( lub `  K
) `  { X ,  Y } )  =  ( iota_ x  e.  B
( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X 
.<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
224, 21eqtrd 2468 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .\/  Y
)  =  ( iota_ x  e.  B ( ( X  .<_  x  /\  Y  .<_  x )  /\  A. z  e.  B  ( ( X  .<_  z  /\  Y  .<_  z )  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698    C_ wss 3313   {cpr 3808   class class class wbr 4205   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   iota_crio 6535   Basecbs 13462   lecple 13529   lubclub 14392   joincjn 14394
This theorem is referenced by:  joinlem  14440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-lub 14424  df-join 14426
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