Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbass2 Structured version   Unicode version

Theorem kbass2 23620
 Description: Dirac bra-ket associative law i.e. the juxtaposition of an inner product with a bra equals a ket juxtaposed with an outer product. (Contributed by NM, 23-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass2

Proof of Theorem kbass2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6106 . . . 4
2 eqid 2436 . . . 4
31, 2fnmpti 5573 . . 3
4 bracl 23452 . . . . . 6
5 brafn 23450 . . . . . 6
6 hfmmval 23242 . . . . . 6
74, 5, 6syl2an 464 . . . . 5
873impa 1148 . . . 4
98fneq1d 5536 . . 3
103, 9mpbiri 225 . 2
11 brafn 23450 . . . . 5
12 kbop 23456 . . . . 5
13 fco 5600 . . . . 5
1411, 12, 13syl2an 464 . . . 4
15143impb 1149 . . 3
16 ffn 5591 . . 3
1715, 16syl 16 . 2
18 simpl1 960 . . . . 5
19 simpl2 961 . . . . 5
20 braval 23447 . . . . 5
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . 4
22 simpl3 962 . . . . 5
23 simpr 448 . . . . 5
24 braval 23447 . . . . 5
2522, 23, 24syl2anc 643 . . . 4
2621, 25oveq12d 6099 . . 3
27 hicl 22582 . . . . . 6
2819, 18, 27syl2anc 643 . . . . 5
2921, 28eqeltrd 2510 . . . 4
3022, 5syl 16 . . . 4
31 hfmval 23247 . . . 4
3229, 30, 23, 31syl3anc 1184 . . 3
33 hicl 22582 . . . . . 6
3423, 22, 33syl2anc 643 . . . . 5
35 ax-his3 22586 . . . . 5
3634, 19, 18, 35syl3anc 1184 . . . 4
37123adant1 975 . . . . . 6
38 fvco3 5800 . . . . . 6
3937, 38sylan 458 . . . . 5
40 kbval 23457 . . . . . . 7
4119, 22, 23, 40syl3anc 1184 . . . . . 6
4241fveq2d 5732 . . . . 5
43 hvmulcl 22516 . . . . . . 7
4434, 19, 43syl2anc 643 . . . . . 6
45 braval 23447 . . . . . 6
4618, 44, 45syl2anc 643 . . . . 5
4739, 42, 463eqtrd 2472 . . . 4
4828, 34mulcomd 9109 . . . 4
4936, 47, 483eqtr4d 2478 . . 3
5026, 32, 493eqtr4d 2478 . 2
5110, 17, 50eqfnfvd 5830 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cmpt 4266   ccom 4882   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988   cmul 8995  chil 22422   csm 22424   csp 22425   chft 22445  cbr 22459   ck 22460 This theorem is referenced by:  kbass6  23624 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-mulcom 9054  ax-hilex 22502  ax-hfvmul 22508  ax-hfi 22581  ax-his3 22586 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-map 7020  df-hfmul 23237  df-bra 23353  df-kb 23354
 Copyright terms: Public domain W3C validator