Theorem kbass3t 10051

Description: Dirac bra-ket associative law <.A | B>. <.C | D>. = (<.A | B>. <.C | ) | D>..

Assertion

Ref	Expression
kbass3t	|- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)) = ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D))

Proof of Theorem kbass3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hfmvalt 9522	. . 3 |- ((((bra` A)` B) e. CC /\ (bra` C):H~-->CC /\ D e. H~) -> ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D) = (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)))
2		braclt 9873	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((bra` A)` B) e. CC)
3	2	adantr 389	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((bra` A)` B) e. CC)
4		brafnt 9871	. . . 4 |- (C e. H~ -> (bra` C):H~-->CC)
5	4	ad2antrl 406	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (bra` C):H~-->CC)
6		simprr 415	. . 3 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> D e. H~)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 858	. 2 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D) = (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)))
8	7	eqcomd 1480	1 |- (((A e. H~ /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((bra` A)` B) x. ((bra` C)` D)) = ((((bra` A)` B) .fn (bra` C))` D))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232   x. cmul 5239  H~chil 8788   .fn chft 8811  bracbr 8825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfi 8946

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-map 4324  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086  df-nr 5167  df-c 5240  df-hfmul 9510  df-bra 9776

Copyright terms: Public domain