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Theorem kbass5 22700
Description: Dirac bra-ket associative law  (  |  A >.  <. B  |  ) (  |  C >.  <. D  | 
)  =  ( (  |  A >.  <. B  | 
)  |  C >. )
<. D  |. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbass5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )

Proof of Theorem kbass5
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kbval 22534 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  (
( C  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
213expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C 
ketbra  D ) `  x
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )
32adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( C  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  C ) )
43fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) ) )
5 simplll 734 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  A  e.  ~H )
6 simpllr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  B  e.  ~H )
7 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  x  e.  ~H )
8 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  D  e.  ~H )
9 hicl 21659 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
107, 8, 9syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( x  .ih  D
)  e.  CC )
11 simplrl 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  C  e.  ~H )
12 hvmulcl 21593 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
1310, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  C )  e.  ~H )
14 kbval 22534 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  (
( x  .ih  D
)  .h  C )  e.  ~H )  -> 
( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
155, 6, 13, 14syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( x  .ih  D )  .h  C ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D
)  .h  C ) 
.ih  B )  .h  A ) )
164, 15eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
17 kbop 22533 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
1817adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
19 fvco3 5596 . . . . 5  |-  ( ( ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
2018, 19sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( A  ketbra  B ) `  ( ( C  ketbra  D ) `  x ) ) )
21 kbval 22534 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  (
( A  ketbra  B ) `
 C )  =  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) )
225, 6, 11, 21syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  =  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) )
2322oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
24 kbop 22533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H )
25 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2624, 25sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  e.  ~H )
2726adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
2827adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H )
29 kbval 22534 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H  /\  x  e. 
~H )  ->  (
( ( ( A 
ketbra  B ) `  C
)  ketbra  D ) `  x )  =  ( ( x  .ih  D
)  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
3028, 8, 7, 29syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( A  ketbra  B ) `  C ) ) )
31 ax-his3 21663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  .h  C ) 
.ih  B )  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) ) )
3210, 11, 6, 31syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  .h  C )  .ih  B
)  =  ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) ) )
3332oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( ( x  .ih  D )  x.  ( C  .ih  B ) )  .h  A
) )
34 hicl 21659 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
3511, 6, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( C  .ih  B
)  e.  CC )
36 ax-hvmulass 21587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .ih  D
)  e.  CC  /\  ( C  .ih  B )  e.  CC  /\  A  e.  ~H )  ->  (
( ( x  .ih  D )  x.  ( C 
.ih  B ) )  .h  A )  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3710, 35, 5, 36syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( x 
.ih  D )  x.  ( C  .ih  B
) )  .h  A
)  =  ( ( x  .ih  D )  .h  ( ( C 
.ih  B )  .h  A ) ) )
3833, 37eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A )  =  ( ( x 
.ih  D )  .h  ( ( C  .ih  B )  .h  A ) ) )
3923, 30, 383eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x )  =  ( ( ( ( x  .ih  D )  .h  C )  .ih  B )  .h  A ) )
4016, 20, 393eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H ) )  /\  x  e.  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) )
4140ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) )
42 fco 5398 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B ) : ~H --> ~H  /\  ( C  ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
4324, 17, 42syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H )
44 kbop 22533 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4526, 44sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
~H  /\  B  e.  ~H )  /\  C  e. 
~H )  /\  D  e.  ~H )  ->  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )
4645anasss 628 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) : ~H --> ~H )
47 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  Fn  ~H )
48 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  Fn  ~H )
49 eqfnfv 5622 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) )  Fn 
~H  /\  ( (
( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D )  Fn  ~H )  ->  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A 
ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `
 x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `  C )  ketbra  D ) `
 x ) ) )
5047, 48, 49syl2an 463 . . 3  |-  ( ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C 
ketbra  D ) ) : ~H --> ~H  /\  (
( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5143, 46, 50syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( (
( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `  C ) 
ketbra  D )  <->  A. x  e.  ~H  ( ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) ) `  x )  =  ( ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) `  x ) ) )
5241, 51mpbird 223 1  |-  ( ( ( A  e.  ~H  /\  B  e.  ~H )  /\  ( C  e.  ~H  /\  D  e.  ~H )
)  ->  ( ( A  ketbra  B )  o.  ( C  ketbra  D ) )  =  ( ( ( A  ketbra  B ) `
 C )  ketbra  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735    x. cmul 8742   ~Hchil 21499    .h csm 21501    .ih csp 21502    ketbra ck 21537
This theorem is referenced by:  kbass6  22701
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-hilex 21579  ax-hfvmul 21585  ax-hvmulass 21587  ax-hfi 21658  ax-his3 21663
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-kb 22431
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