Theorem kbmult 9874

Description: Multiplication property of outer product.

Assertion

Ref	Expression
kbmult	|- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = (B ketbra ((*` A) .h C)))

Proof of Theorem kbmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hvmulass 8872	. . . . . . 7 |- (((x .ih C) e. CC /\ A e. CC /\ B e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih C) .h (A .h B)))
2		hiclt 8942	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ C e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
3	2	ancoms 438	. . . . . . . 8 |- ((C e. H~ /\ x e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
4	3	3ad2antl3 813	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (x .ih C) e. CC)
5		3simp1 790	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> A e. CC)
6	5	adantr 391	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> A e. CC)
7		3simp2 791	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> B e. H~)
8	7	adantr 391	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> B e. H~)
9	1, 4, 6, 8	syl3anc 860	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih C) .h (A .h B)))
10		axmulcom 5288	. . . . . . . . . . 11 |- (((x .ih C) e. CC /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (A x. (x .ih C)))
11	10, 2	sylan 450	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (A x. (x .ih C)))
12		his52t 8949	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ x e. H~ /\ C e. H~) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
13	12	3expb 836	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (x e. H~ /\ C e. H~)) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
14	13	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> (x .ih ((*` A) .h C)) = (A x. (x .ih C)))
15	11, 14	eqtr4d 1513	. . . . . . . . 9 |- (((x e. H~ /\ C e. H~) /\ A e. CC) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
16	15	ancom31s 493	. . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
17	16	3adantl2 806	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) x. A) = (x .ih ((*` A) .h C)))
18	17	opreq1d 3981	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (((x .ih C) x. A) .h B) = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))
19	9, 18	eqtr3d 1512	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> ((x .ih C) .h (A .h B)) = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))
20	19	eqeq2d 1489	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) /\ x e. H~) -> (y = ((x .ih C) .h (A .h B)) <-> y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B)))
21	20	pm5.32da 651	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B))) <-> (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))))
22	21	opabbidv 2675	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
23		kbvalt 9871	. . . 4 |- (((A .h B) e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
24		hvmulclt 8878	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
25	23, 24	sylan 450	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
26	25	3impa 830	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih C) .h (A .h B)))})
27		kbvalt 9871	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ ((*` A) .h C) e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
28		hvmulclt 8878	. . . . . 6 |- (((*` A) e. CC /\ C e. H~) -> ((*` A) .h C) e. H~)
29		cjclt 6765	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (*` A) e. CC)
30	28, 29	sylan 450	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ C e. H~) -> ((*` A) .h C) e. H~)
31	27, 30	sylan2 453	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ (A e. CC /\ C e. H~)) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
32	31	3impb 831	. . 3 |- ((B e. H~ /\ A e. CC /\ C e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
33	32	3com12 839	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (B ketbra ((*` A) .h C)) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((x .ih ((*` A) .h C)) .h B))})
34	22, 26, 33	3eqtr4d 1520	1 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .h B) ketbra C) = (B ketbra ((*` A) .h C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  {copab 2671  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244   x. cmul 5251  *ccj 6750  H~chil 8783   .h csm 8785   .ih csp 8788   ketbra ck 8821

This theorem is referenced by:  kbass6t 10049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulass 8872  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-kb 9772

Copyright terms: Public domain