Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac1 Unicode version

Theorem kelac1 27264
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
kelac1.j  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  Top )
kelac1.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  C  e.  ( Clsd `  J
) )
kelac1.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B : S -1-1-onto-> C )
kelac1.u  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U  e.  U. J )
kelac1.k  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
kelac1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, I
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    S( x)    U( x)    J( x)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables  f 
y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  C  e.  ( Clsd `  J
) )
2 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
32cldss 16782 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  C  C_  U. J
)
41, 3syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  C  C_ 
U. J )
54ralrimiva 2639 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  C  C_  U. J )
6 boxriin 6874 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  I  C  C_ 
U. J  ->  X_ x  e.  I  C  =  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
75, 6syl 15 . . . 4  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  C  =  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
8 kelac1.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  e.  Comp )
9 cmptop 17138 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  e.  Comp  ->  (
Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  e.  Top )
10 0ntop 16667 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (/)  e.  Top
11 fvprc 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  =  (/) )
1211eleq1d 2362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  ->  ( ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  e.  Top  <->  (/)  e.  Top ) )
1310, 12mtbiri 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  ->  -.  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  e.  Top )
1413con4i 122 . . . . . . . . 9  |-  ( (
Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  e.  Top  ->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V )
16 kelac1.j . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  J  e.  Top )
17 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  I  |->  J )  =  ( x  e.  I  |->  J )
1816, 17fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> Top )
19 dmfex 5440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  I  |->  J )  e.  _V  /\  ( x  e.  I  |->  J ) : I --> Top )  ->  I  e.  _V )
2015, 18, 19syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
2116ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  J  e.  Top )
22 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  =  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )
2322ptunimpt 17306 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  _V  /\  A. x  e.  I  J  e.  Top )  ->  X_ x  e.  I  U. J  =  U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) ) )
2420, 21, 23syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  U. J  =  U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) ) )
2524ineq1d 3382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =  ( U. ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
26 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  =  U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )
272topcld 16788 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
2816, 27syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U. J  e.  ( Clsd `  J
) )
29 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( Clsd `  J )  /\  U. J  e.  ( Clsd `  J ) )  ->  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  e.  (
Clsd `  J )
)
301, 28, 29syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
)  e.  ( Clsd `  J ) )
3120, 16, 30ptcldmpt 17324 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  e.  (
Clsd `  ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) ) ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
)  e.  ( Clsd `  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) ) ) )
33 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
z  e.  Fin )
34 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B : S -1-1-onto-> C )
35 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B : S -1-1-onto-> C  ->  B : S -onto-> C )
36 foima 5472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B : S -onto-> C  -> 
( B " S
)  =  C )
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( B " S )  =  C )
3837eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  C  =  ( B " S ) )
39 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
40 f1ofn 5489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B : S -1-1-onto-> C  ->  B  Fn  S )
4134, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  B  Fn  S )
42 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  C_  S
43 fnimaeq0 5381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  Fn  S  /\  S  C_  S )  -> 
( ( B " S )  =  (/)  <->  S  =  (/) ) )
4441, 42, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( B " S
)  =  (/)  <->  S  =  (/) ) )
4544necon3bid 2494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( B " S
)  =/=  (/)  <->  S  =/=  (/) ) )
4639, 45mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( B " S )  =/=  (/) )
4738, 46eqnetrd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  C  =/=  (/) )
48 n0 3477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  C )
4947, 48sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  w  e.  C )
50 rexv 2815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  _V  w  e.  C  <->  E. w  w  e.  C )
5149, 50sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  E. w  e.  _V  w  e.  C
)
5251ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  E. w  e.  _V  w  e.  C )
53 ssralv 3250 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
C_  I  ->  ( A. x  e.  I  E. w  e.  _V  w  e.  C  ->  A. x  e.  z  E. w  e.  _V  w  e.  C ) )
5453adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin )  ->  ( A. x  e.  I  E. w  e. 
_V  w  e.  C  ->  A. x  e.  z  E. w  e.  _V  w  e.  C )
)
5552, 54mpan9 455 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  ->  A. x  e.  z  E. w  e.  _V  w  e.  C )
56 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( f `  x )  ->  (
w  e.  C  <->  ( f `  x )  e.  C
) )
5756ac6sfi 7117 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  A. x  e.  z  E. w  e.  _V  w  e.  C )  ->  E. f
( f : z --> _V  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
) )
5833, 55, 57syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  ->  E. f ( f : z --> _V  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
) )
5924eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  J ) )  =  X_ x  e.  I  U. J )
6059ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =  (
X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
6160ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
62 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  ( f `
 x ) )
6362ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( x  e.  z  /\  (
f `  x )  e.  C ) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  ( f `
 x ) )
64 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  ph )
65 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
z  C_  I )
6665sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  x  e.  I )
6764, 66, 4syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  C  C_ 
U. J )
6867sseld 3192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  -> 
( f `  x
)  e.  U. J
) )
6968impr 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( x  e.  z  /\  (
f `  x )  e.  C ) )  -> 
( f `  x
)  e.  U. J
)
7063, 69eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( x  e.  z  /\  (
f `  x )  e.  C ) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  U. J
)
7170expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  U. J
) )
7271ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  z  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  U. J ) )
7372imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  z  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  U. J )
74 eldifn 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( I  \ 
z )  ->  -.  x  e.  z )
75 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  U )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( I  \ 
z )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  U )
7776adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  U )
78 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( I  \ 
z )  ->  x  e.  I )
79 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U  e.  U. J )
8078, 79sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  U  e.  U. J )
8177, 80eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  U. J
)
8281ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( I  \  z ) if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  U. J )
8382ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e. 
U. J )
84 ralun 3370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. x  e.  z  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  U. J  /\  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e. 
U. J )  ->  A. x  e.  (
z  u.  ( I 
\  z ) ) if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  U. J )
8573, 83, 84syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  ( z  u.  (
I  \  z )
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e. 
U. J )
86 undif 3547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z 
C_  I  <->  ( z  u.  ( I  \  z
) )  =  I )
8786biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z 
C_  I  ->  (
z  u.  ( I 
\  z ) )  =  I )
8887ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( z  u.  (
I  \  z )
)  =  I )
8988raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( A. x  e.  ( z  u.  (
I  \  z )
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e. 
U. J  <->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  U. J ) )
9089adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( A. x  e.  ( z  u.  ( I  \  z
) ) if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  U. J  <->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  U. J ) )
9185, 90mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  U. J )
9220ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  I  e.  _V )
93 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  U. J  <->  A. x  e.  I  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  U. J
) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  X_ x  e.  I  U. J 
<-> 
A. x  e.  I  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  U. J
) )
9591, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  U. J )
96 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( C  =  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  -> 
( ( f `  x )  e.  C  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
97 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( U. J  =  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
)  ->  ( (
f `  x )  e.  U. J  <->  ( f `  x )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
98 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  (
x  e.  z  /\  ( f `  x
)  e.  C ) )  /\  x  =  y )  ->  (
f `  x )  e.  C )
9969adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  (
x  e.  z  /\  ( f `  x
)  e.  C ) )  /\  -.  x  =  y )  -> 
( f `  x
)  e.  U. J
)
10096, 97, 98, 99ifbothda 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( x  e.  z  /\  (
f `  x )  e.  C ) )  -> 
( f `  x
)  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )
10163, 100eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( x  e.  z  /\  (
f `  x )  e.  C ) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )
102101expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  x  e.  z )  ->  (
( f `  x
)  e.  C  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
103102ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  z  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
104103imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  z  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
105104adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  z  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
10676adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  =  U )
10780adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  U  e.  U. J )
108 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( I  \  z )  i^i  z )  =  ( z  i^i  (
I  \  z )
)
109 disjdif 3539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( z  i^i  ( I  \ 
z ) )  =  (/)
110108, 109eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( I  \  z )  i^i  z )  =  (/)
111110a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  (
( I  \  z
)  i^i  z )  =  (/) )
112 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  x  e.  ( I  \  z
) )
113 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  y  e.  z )
114 disjne 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( I  \ 
z )  i^i  z
)  =  (/)  /\  x  e.  ( I  \  z
)  /\  y  e.  z )  ->  x  =/=  y )
115111, 112, 113, 114syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  x  =/=  y )
116115neneqd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  -.  x  =  y )
117 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  =  U. J )
118116, 117syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
)  =  U. J
)
119107, 118eleqtrrd 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  U  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
120106, 119eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  z )  /\  x  e.  ( I  \  z
) )  ->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )
121120ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
122121adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
123122adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
124 ralun 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. x  e.  z  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
)  /\  A. x  e.  ( I  \  z
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  ->  A. x  e.  (
z  u.  ( I 
\  z ) ) if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )
125105, 123, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  ( z  u.  (
I  \  z )
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
12688raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( A. x  e.  ( z  u.  (
I  \  z )
) if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  <->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
127126ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  ( A. x  e.  (
z  u.  ( I 
\  z ) ) if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
)  <->  A. x  e.  I  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
)  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
128125, 127mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
12920ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  I  e.  _V )
130 mptelixpg 6869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  <->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
131129, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  (
( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  <->  A. x  e.  I  if (
x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U )  e.  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
132128, 131mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e.  Fin ) )  /\  A. x  e.  z  (
f `  x )  e.  C )  /\  y  e.  z )  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )
133132ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  A. y  e.  z  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
) )
134 mptexg 5761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( I  e.  _V  ->  (
x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  _V )
13520, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U ) )  e. 
_V )
136135ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  _V )
137 eliin 3926 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  _V  ->  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U ) )  e.  |^|_ y  e.  z 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J )  <->  A. y  e.  z  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( (
x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
)  <->  A. y  e.  z  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `
 x ) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
139133, 138mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )
140 elin 3371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  (
X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  <-> 
( ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U ) )  e.  X_ x  e.  I  U. J  /\  (
x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if (
x  =  y ,  C ,  U. J
) ) )
14195, 139, 140sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x
) ,  U ) )  e.  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) ) )
142 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  I  |->  if ( x  e.  z ,  ( f `  x ) ,  U
) )  e.  (
X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  ->  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =/=  (/) )
143141, 142syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  z 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =/=  (/) )
14461, 143eqnetrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =/=  (/) )
145144adantrl 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
z  C_  I  /\  z  e.  Fin )
)  /\  ( f : z --> _V  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C ) )  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =/=  (/) )
146145ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( ( f : z --> _V  /\  A. x  e.  z  ( f `  x )  e.  C
)  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =/=  (/) ) )
147146exlimdv 1626 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( E. f ( f : z --> _V 
/\  A. x  e.  z  ( f `  x
)  e.  C )  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z 
X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J ) )  =/=  (/) ) )
14858, 147mpd 14 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  C_  I  /\  z  e. 
Fin ) )  -> 
( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  z  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =/=  (/) )
14926, 8, 32, 148cmpfiiin 26875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. ( Xt_ `  ( x  e.  I  |->  J ) )  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =/=  (/) )
15025, 149eqnetrd 2477 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X_ x  e.  I  U. J  i^i  |^|_ y  e.  I  X_ x  e.  I  if ( x  =  y ,  C ,  U. J
) )  =/=  (/) )
1517, 150eqnetrd 2477 . . 3  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  C  =/=  (/) )
152 n0 3477 . . 3  |-  ( X_ x  e.  I  C  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  X_ x  e.  I  C )
153151, 152sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  y  e.  X_ x  e.  I  C )
154 elixp2 6836 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  C 
<->  ( y  e.  _V  /\  y  Fn  I  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  C ) )
155154simp3bi 972 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  X_ x  e.  I  C  ->  A. x  e.  I 
( y `  x
)  e.  C )
156 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : S -1-1-onto-> C  ->  `' B : C -1-1-onto-> S )
157 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' B : C -1-1-onto-> S  ->  `' B : C --> S )
158156, 157syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( B : S -1-1-onto-> C  ->  `' B : C --> S )
159 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' B : C --> S  /\  ( y `  x
)  e.  C )  ->  ( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
)
160159ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' B : C --> S  -> 
( ( y `  x )  e.  C  ->  ( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
) )
16134, 158, 1603syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (
( y `  x
)  e.  C  -> 
( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
) )
162161ralimdva 2634 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  C  ->  A. x  e.  I 
( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
) )
163162imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  I  ( y `  x )  e.  C
)  ->  A. x  e.  I  ( `' B `  ( y `  x ) )  e.  S )
164155, 163sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X_ x  e.  I  C )  ->  A. x  e.  I  ( `' B `  ( y `  x ) )  e.  S )
165 mptelixpg 6869 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  _V  ->  (
( x  e.  I  |->  ( `' B `  ( y `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  I  S 
<-> 
A. x  e.  I 
( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
) )
16620, 165syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  I  |->  ( `' B `  ( y `  x
) ) )  e.  X_ x  e.  I  S 
<-> 
A. x  e.  I 
( `' B `  ( y `  x
) )  e.  S
) )
167166adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X_ x  e.  I  C )  ->  ( (
x  e.  I  |->  ( `' B `  ( y `
 x ) ) )  e.  X_ x  e.  I  S  <->  A. x  e.  I  ( `' B `  ( y `  x ) )  e.  S ) )
168164, 167mpbird 223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X_ x  e.  I  C )  ->  ( x  e.  I  |->  ( `' B `  ( y `
 x ) ) )  e.  X_ x  e.  I  S )
169 ne0i 3474 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  I  |->  ( `' B `  ( y `
 x ) ) )  e.  X_ x  e.  I  S  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
170168, 169syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  X_ x  e.  I  C )  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
171170ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  X_ x  e.  I  C  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) ) )
172171exlimdv 1626 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. y  y  e.  X_ x  e.  I  C  ->  X_ x  e.  I  S  =/=  (/) ) )
173153, 172mpd 14 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ifcif 3578   U.cuni 3843   |^|_ciin 3922    e. cmpt 4093   `'ccnv 4704   "cima 4708    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   X_cixp 6833   Fincfn 6879   Xt_cpt 13359   Topctop 16647   Clsdccld 16769   Compccmp 17129
This theorem is referenced by:  kelac2  27266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-top 16652  df-bases 16654  df-cld 16772  df-cmp 17130
  Copyright terms: Public domain W3C validator