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Theorem kelac2 27163
Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac2.s  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
kelac2.z  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
kelac2.k  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
Assertion
Ref Expression
kelac2  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, I
Allowed substitution hints:    S( x)    V( x)

Proof of Theorem kelac2
StepHypRef Expression
1 kelac2.z . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  =/=  (/) )
2 kelac2.s . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  V )
3 kelac2lem 27162 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
4 cmptop 17122 . . 3  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
52, 3, 43syl 18 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
6 uncom 3319 . . . . . . 7  |-  ( S  u.  { ~P U. S } )  =  ( { ~P U. S }  u.  S )
76difeq1i 3290 . . . . . 6  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( ( { ~P U. S }  u.  S
)  \  S )
8 difun2 3533 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  u.  S )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
97, 8eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( S  u.  { ~P U. S } )  \  S )  =  ( { ~P U. S }  \  S )
10 snex 4216 . . . . . . 7  |-  { ~P U. S }  e.  _V
11 uniprg 3842 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  V  /\  { ~P U. S }  e.  _V )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
122, 10, 11sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  ( S  u.  { ~P U. S } ) )
1312difeq1d 3293 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  ( ( S  u.  { ~P U. S } ) 
\  S ) )
14 incom 3361 . . . . . . 7  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
15 pwuninel 6300 . . . . . . . . 9  |-  -.  ~P U. S  e.  S
1615a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  -.  ~P U. S  e.  S
)
17 disjsn 3693 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1816, 17sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) )
1914, 18syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) )
20 disj3 3499 . . . . . 6  |-  ( ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/) 
<->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
2119, 20sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  =  ( { ~P U. S }  \  S ) )
229, 13, 213eqtr4a 2341 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  =  { ~P U. S } )
23 prex 4217 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
24 bastg 16704 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2523, 24mp1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  C_  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
) )
2610prid2 3735 . . . . . 6  |-  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }
2726a1i 10 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } } )
2825, 27sseldd 3181 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
2922, 28eqeltrd 2357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )
30 prid1g 3732 . . . . 5  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)
31 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( S  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
322, 30, 313syl 18 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  C_ 
U. { S ,  { ~P U. S } } )
33 unitg 16705 . . . . . . 7  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } } )
3423, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  =  U. { S ,  { ~P U. S } }
3534eqcomi 2287 . . . . 5  |-  U. { S ,  { ~P U. S } }  =  U. ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )
3635iscld2 16765 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top  /\  S  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
375, 32, 36syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) )  <->  ( U. { S ,  { ~P U. S } }  \  S )  e.  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
3829, 37mpbird 223 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  S  e.  ( Clsd `  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) ) )
39 f1oi 5511 . . 3  |-  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S
4039a1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  (  _I  |`  S ) : S -1-1-onto-> S )
41 elssuni 3855 . . . . 5  |-  ( { ~P U. S }  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4226, 41mp1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  { ~P U. S }  C_  U. { S ,  { ~P U. S } } )
43 uniexg 4517 . . . . . 6  |-  ( S  e.  V  ->  U. S  e.  _V )
44 pwexg 4194 . . . . . 6  |-  ( U. S  e.  _V  ->  ~P
U. S  e.  _V )
452, 43, 443syl 18 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  _V )
46 snidg 3665 . . . . 5  |-  ( ~P
U. S  e.  _V  ->  ~P U. S  e. 
{ ~P U. S } )
4745, 46syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  { ~P U. S } )
4842, 47sseldd 3181 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. { S ,  { ~P U. S } } )
4948, 34syl6eleqr 2374 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  I )  ->  ~P U. S  e.  U. ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } ) )
50 kelac2.k . 2  |-  ( ph  ->  ( Xt_ `  (
x  e.  I  |->  (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } ) ) )  e.  Comp )
511, 5, 38, 40, 49, 50kelac1 27161 1  |-  ( ph  -> 
X_ x  e.  I  S  =/=  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   U.cuni 3827    e. cmpt 4077    _I cid 4304    |` cres 4691   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   X_cixp 6817   topGenctg 13342   Xt_cpt 13343   Topctop 16631   Clsdccld 16753   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  dfac21  27164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756  df-cmp 17114
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