Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac2lem Structured version   Unicode version

Theorem kelac2lem 27094
Description: Lemma for kelac2 27095 and dfac21 27096: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
kelac2lem  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )

Proof of Theorem kelac2lem
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4398 . . . . 5  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V
2 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
32elpr 3824 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } ) )
4 vex 2951 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
54elpr 3824 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { S ,  { ~P U. S } } 
<->  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )
6 eqtr3 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  x  =  y )
76orcd 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  S )  ->  ( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
8 ineq12 3529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  ( { ~P U. S }  i^i  S
) )
9 incom 3525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  ( S  i^i  { ~P U. S } )
10 pwuninel 6537 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  ~P U. S  e.  S
11 disjsn 3860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/) 
<->  -.  ~P U. S  e.  S )
1210, 11mpbir 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  i^i  { ~P U. S } )  =  (/)
139, 12eqtri 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( { ~P U. S }  i^i  S )  =  (/)
148, 13syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
1514olcd 383 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  S )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
16 ineq12 3529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  ( S  i^i  { ~P U. S } ) )
1716, 12syl6eq 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  i^i  y
)  =  (/) )
1817olcd 383 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  S  /\  y  =  { ~P U. S } )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
19 eqtr3 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  x  =  y )
2019orcd 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  { ~P U. S }  /\  y  =  { ~P U. S } )  ->  (
x  =  y  \/  ( x  i^i  y
)  =  (/) ) )
217, 15, 18, 20ccase 913 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  S  \/  x  =  { ~P U. S } )  /\  ( y  =  S  \/  y  =  { ~P U. S } ) )  -> 
( x  =  y  \/  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )
223, 5, 21syl2anb 466 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  { S ,  { ~P U. S } }  /\  y  e.  { S ,  { ~P U. S } }
)  ->  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2322rgen2a 2764 . . . . 5  |-  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) )
24 baspartn 17009 . . . . 5  |-  ( ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  /\  A. x  e.  { S ,  { ~P U. S } } A. y  e.  { S ,  { ~P U. S } }  ( x  =  y  \/  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases )
251, 23, 24mp2an 654 . . . 4  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases
26 tgcl 17024 . . . 4  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  TopBases  -> 
( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
2725, 26mp1i 12 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top )
28 prfi 7373 . . . . . 6  |-  { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
29 pwfi 7394 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin 
<->  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin )
3028, 29mpbi 200 . . . . 5  |-  ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin
31 tgdom 17033 . . . . . 6  |-  ( { S ,  { ~P U. S } }  e.  _V  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )
321, 31ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } }
33 domfi 7322 . . . . 5  |-  ( ( ~P { S ,  { ~P U. S } }  e.  Fin  /\  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  ~<_  ~P { S ,  { ~P U. S } } )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
3430, 32, 33mp2an 654 . . . 4  |-  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } }
)  e.  Fin
3534a1i 11 . . 3  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin )
36 elin 3522 . . 3  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  <->  ( ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Top  /\  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Fin ) )
3727, 35, 36sylanbrc 646 . 2  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )
)
38 fincmp 17446 . 2  |-  ( (
topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  ( Top  i^i  Fin )  ->  ( topGen `  { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
3937, 38syl 16 1  |-  ( S  e.  V  ->  ( topGen `
 { S ,  { ~P U. S } } )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    i^i cin 3311   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   {cpr 3807   U.cuni 4007   class class class wbr 4204   ` cfv 5446    ~<_ cdom 7099   Fincfn 7101   topGenctg 13655   Topctop 16948   TopBasesctb 16952   Compccmp 17439
This theorem is referenced by:  kelac2  27095  dfac21  27096
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-topgen 13657  df-top 16953  df-bases 16955  df-cmp 17440
  Copyright terms: Public domain W3C validator