Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Unicode version

Theorem kercvrlsm 27158
 Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u
kercvrlsm.p
kercvrlsm.z
kercvrlsm.k
kercvrlsm.b
kercvrlsm.f LMHom
kercvrlsm.d
kercvrlsm.cv
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 LMHom
2 lmhmlmod1 16109 . . . . 5 LMHom
31, 2syl 16 . . . 4
4 kercvrlsm.k . . . . . 6
5 kercvrlsm.z . . . . . 6
6 kercvrlsm.u . . . . . 6
74, 5, 6lmhmkerlss 16127 . . . . 5 LMHom
81, 7syl 16 . . . 4
9 kercvrlsm.d . . . 4
10 kercvrlsm.p . . . . 5
116, 10lsmcl 16155 . . . 4
123, 8, 9, 11syl3anc 1184 . . 3
13 kercvrlsm.b . . . 4
1413, 6lssss 16013 . . 3
1512, 14syl 16 . 2
16 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
1713, 16lmhmf 16110 . . . . . . . . . 10 LMHom
181, 17syl 16 . . . . . . . . 9
19 ffn 5591 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
21 fnfvelrn 5867 . . . . . . . 8
2220, 21sylan 458 . . . . . . 7
23 kercvrlsm.cv . . . . . . . 8
2423adantr 452 . . . . . . 7
2522, 24eleqtrrd 2513 . . . . . 6
2620adantr 452 . . . . . . 7
2713, 6lssss 16013 . . . . . . . . 9
289, 27syl 16 . . . . . . . 8
2928adantr 452 . . . . . . 7
30 fvelimab 5782 . . . . . . 7
3126, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6
3225, 31mpbid 202 . . . . 5
33 lmodgrp 15957 . . . . . . . . . . . . 13
343, 33syl 16 . . . . . . . . . . . 12
3534adantr 452 . . . . . . . . . . 11
36 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
3728sselda 3348 . . . . . . . . . . . 12
3837adantrl 697 . . . . . . . . . . 11
39 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
40 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12
4113, 39, 40grpnpcan 14880 . . . . . . . . . . 11
4235, 36, 38, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
4342adantr 452 . . . . . . . . 9
443ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
4513, 6lssss 16013 . . . . . . . . . . . 12
468, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11
4746ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
4828ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
49 eqcom 2438 . . . . . . . . . . . 12
50 lmghm 16107 . . . . . . . . . . . . . . 15 LMHom
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5251adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
5313, 5, 4, 40ghmeqker 15032 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 36, 38, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
5549, 54syl5bb 249 . . . . . . . . . . 11
5655biimpa 471 . . . . . . . . . 10
57 simplrr 738 . . . . . . . . . 10
5813, 39, 10lsmelvalix 15275 . . . . . . . . . 10
5944, 47, 48, 56, 57, 58syl32anc 1192 . . . . . . . . 9
6043, 59eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8
6160ex 424 . . . . . . 7
6261anassrs 630 . . . . . 6
6362rexlimdva 2830 . . . . 5
6432, 63mpd 15 . . . 4
6564ex 424 . . 3
6665ssrdv 3354 . 2
6715, 66eqssd 3365 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2706   wss 3320  csn 3814  ccnv 4877   crn 4879  cima 4881   wfn 5449  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cbs 13469   cplusg 13529  c0g 13723  cgrp 14685  csg 14688   cghm 15003  clsm 15268  clmod 15950  clss 16008   LMHom clmhm 16095 This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  27161 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-lsm 15270  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lmhm 16098
 Copyright terms: Public domain W3C validator