MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2cn Structured version   Unicode version

Theorem kgen2cn 17596
Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2cn  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgen2cn
StepHypRef Expression
1 cntop1 17309 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 17003 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 190 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 kgentopon 17575 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
7 kgenss 17580 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
81, 7syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
92cnss1 17345 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( J  Cn  K
)  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K
) )
106, 8, 9syl2anc 644 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K ) )
11 kgenf 17578 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
12 ffn 5594 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
14 fnfvelrn 5870 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1513, 1, 14sylancr 646 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
16 cntop2 17310 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
17 kgencn3 17595 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)  Cn  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
1815, 16, 17syl2anc 644 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (
(𝑘Gen `  J )  Cn  K )  =  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
1910, 18sseqtrd 3386 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
20 id 21 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2119, 20sseldd 3351 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   U.cuni 4017   ran crn 4882    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Topctop 16963  TopOnctopon 16964    Cn ccn 17293  𝑘Genckgen 17570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-fin 7116  df-fi 7419  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cn 17296  df-cmp 17455  df-kgen 17571
  Copyright terms: Public domain W3C validator