MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2cn Unicode version

Theorem kgen2cn 17360
Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2cn  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgen2cn
StepHypRef Expression
1 cntop1 17076 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
2 eqid 2358 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
32toptopon 16777 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
41, 3sylib 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 kgentopon 17339 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
64, 5syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J ) )
7 kgenss 17344 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
81, 7syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
92cnss1 17111 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  U. J )  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( J  Cn  K
)  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K
) )
106, 8, 9syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K ) )
11 kgenf 17342 . . . . . 6  |- 𝑘Gen : Top --> Top
12 ffn 5472 . . . . . 6  |-  (𝑘Gen : Top --> Top 
-> 𝑘Gen 
Fn  Top )
1311, 12ax-mp 8 . . . . 5  |- 𝑘Gen  Fn  Top
14 fnfvelrn 5745 . . . . 5  |-  ( (𝑘Gen  Fn  Top  /\  J  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
1513, 1, 14sylancr 644 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  ran 𝑘Gen )
16 cntop2 17077 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
17 kgencn3 17359 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)  Cn  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
1815, 16, 17syl2anc 642 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  (
(𝑘Gen `  J )  Cn  K )  =  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
1910, 18sseqtrd 3290 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
20 id 19 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
2119, 20sseldd 3257 1  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   U.cuni 3908   ran crn 4772    Fn wfn 5332   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   Topctop 16737  TopOnctopon 16738    Cn ccn 17060  𝑘Genckgen 17334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-fin 6955  df-fi 7255  df-rest 13426  df-topgen 13443  df-top 16742  df-bases 16744  df-topon 16745  df-cn 17063  df-cmp 17220  df-kgen 17335
  Copyright terms: Public domain W3C validator