MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Unicode version

Theorem kgencmp2 17241
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 17240 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
31, 2eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K )  e.  Comp )
4 cmptop 17122 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top )
5 restrcl 16888 . . . . . . . 8  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  (
(𝑘Gen `  J )  e. 
_V  /\  K  e.  _V ) )
65simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  K  e. 
_V )
8 resttop 16891 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
97, 8sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
10 eqid 2283 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  K )  =  U. ( Jt  K )
1110toptopon 16671 . . . . 5  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  <->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
129, 11sylib 188 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
13 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1413kgenuni 17234 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1615ineq2d 3370 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
1713restuni2 16898 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
187, 17sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
19 kgenftop 17235 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
20 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  U. (𝑘Gen `  J )  =  U. (𝑘Gen
`  J )
2120restuni2 16898 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2219, 7, 21syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2316, 18, 223eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. ( Jt  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2423fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (TopOn ` 
U. ( Jt  K ) )  =  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) ) )
2512, 24eleqtrd 2359 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) ) )
26 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )
2719adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
28 kgenss 17238 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
30 ssrest 16907 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
3127, 29, 30syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
32 eqid 2283 . . . 4  |-  U. (
(𝑘Gen `  J )t  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K )
3332sscmp 17132 . . 3  |-  ( ( ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  /\  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )  ->  ( Jt  K
)  e.  Comp )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
353, 34impbida 805 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  kgenidm  17242
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-kgen 17229
  Copyright terms: Public domain W3C validator