Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Structured version   Unicode version

Theorem kgencmp2 17570
 Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2 t 𝑘Gent

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 17569 . . 3 t t 𝑘Gent
2 simpr 448 . . 3 t t
31, 2eqeltrrd 2510 . 2 t 𝑘Gent
4 cmptop 17450 . . . . . . 7 𝑘Gent 𝑘Gent
5 restrcl 17213 . . . . . . . 8 𝑘Gent 𝑘Gen
65simprd 450 . . . . . . 7 𝑘Gent
74, 6syl 16 . . . . . 6 𝑘Gent
8 resttop 17216 . . . . . 6 t
97, 8sylan2 461 . . . . 5 𝑘Gent t
10 eqid 2435 . . . . . 6 t t
1110toptopon 16990 . . . . 5 t t TopOnt
129, 11sylib 189 . . . 4 𝑘Gent t TopOnt
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1413kgenuni 17563 . . . . . . . 8 𝑘Gen
1514adantr 452 . . . . . . 7 𝑘Gent 𝑘Gen
1615ineq2d 3534 . . . . . 6 𝑘Gent 𝑘Gen
1713restuni2 17223 . . . . . . 7 t
187, 17sylan2 461 . . . . . 6 𝑘Gent t
19 kgenftop 17564 . . . . . . 7 𝑘Gen
20 eqid 2435 . . . . . . . 8 𝑘Gen 𝑘Gen
2120restuni2 17223 . . . . . . 7 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gent
2219, 7, 21syl2an 464 . . . . . 6 𝑘Gent 𝑘Gen 𝑘Gent
2316, 18, 223eqtr3d 2475 . . . . 5 𝑘Gent t 𝑘Gent
2423fveq2d 5724 . . . 4 𝑘Gent TopOnt TopOn𝑘Gent
2512, 24eleqtrd 2511 . . 3 𝑘Gent t TopOn𝑘Gent
26 simpr 448 . . 3 𝑘Gent 𝑘Gent
2719adantr 452 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gen
28 kgenss 17567 . . . . 5 𝑘Gen
2928adantr 452 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gen
30 ssrest 17232 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen t 𝑘Gent
3127, 29, 30syl2anc 643 . . 3 𝑘Gent t 𝑘Gent
32 eqid 2435 . . . 4 𝑘Gent 𝑘Gent
3332sscmp 17460 . . 3 t TopOn𝑘Gent 𝑘Gent t 𝑘Gent t
3425, 26, 31, 33syl3anc 1184 . 2 𝑘Gent t
353, 34impbida 806 1 t 𝑘Gent
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948   cin 3311   wss 3312  cuni 4007  cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640  ctop 16950  TopOnctopon 16951  ccmp 17441  𝑘Genckgen 17557 This theorem is referenced by:  kgenidm  17571 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cmp 17442  df-kgen 17558
 Copyright terms: Public domain W3C validator