MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Unicode version

Theorem kgencmp2 17257
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 17256 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )
2 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
31, 2eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K )  e.  Comp )
4 cmptop 17138 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top )
5 restrcl 16904 . . . . . . . 8  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  (
(𝑘Gen `  J )  e. 
_V  /\  K  e.  _V ) )
65simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
74, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  K  e. 
_V )
8 resttop 16907 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
97, 8sylan2 460 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
10 eqid 2296 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  K )  =  U. ( Jt  K )
1110toptopon 16687 . . . . 5  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  <->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
129, 11sylib 188 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
13 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1413kgenuni 17250 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1615ineq2d 3383 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
1713restuni2 16914 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
187, 17sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
19 kgenftop 17251 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
20 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  U. (𝑘Gen `  J )  =  U. (𝑘Gen
`  J )
2120restuni2 16914 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2219, 7, 21syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2316, 18, 223eqtr3d 2336 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. ( Jt  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2423fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (TopOn ` 
U. ( Jt  K ) )  =  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) ) )
2512, 24eleqtrd 2372 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) ) )
26 simpr 447 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )
2719adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
28 kgenss 17254 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
30 ssrest 16923 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
3127, 29, 30syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
32 eqid 2296 . . . 4  |-  U. (
(𝑘Gen `  J )t  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K )
3332sscmp 17148 . . 3  |-  ( ( ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  /\  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )  ->  ( Jt  K
)  e.  Comp )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
353, 34impbida 805 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Compccmp 17129  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  kgenidm  17258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-kgen 17245
  Copyright terms: Public domain W3C validator