MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencmp2 Unicode version

Theorem kgencmp2 17499
Description: The compact generator topology has the same compact sets as the original topology. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencmp2  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )

Proof of Theorem kgencmp2
StepHypRef Expression
1 kgencmp 17498 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )
2 simpr 448 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
31, 2eqeltrrd 2462 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( Jt  K )  e.  Comp )  ->  ( (𝑘Gen `  J
)t 
K )  e.  Comp )
4 cmptop 17380 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top )
5 restrcl 17143 . . . . . . . 8  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  (
(𝑘Gen `  J )  e. 
_V  /\  K  e.  _V ) )
65simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
74, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  ->  K  e. 
_V )
8 resttop 17146 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
97, 8sylan2 461 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
10 eqid 2387 . . . . . 6  |-  U. ( Jt  K )  =  U. ( Jt  K )
1110toptopon 16921 . . . . 5  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  <->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
129, 11sylib 189 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( Jt  K ) ) )
13 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
1413kgenuni 17492 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1514adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. J  =  U. (𝑘Gen `  J ) )
1615ineq2d 3485 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J ) ) )
1713restuni2 17153 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
187, 17sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  K ) )
19 kgenftop 17493 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
20 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  U. (𝑘Gen `  J )  =  U. (𝑘Gen
`  J )
2120restuni2 17153 . . . . . . 7  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2219, 7, 21syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. (𝑘Gen `  J
) )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2316, 18, 223eqtr3d 2427 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  U. ( Jt  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) )
2423fveq2d 5672 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (TopOn ` 
U. ( Jt  K ) )  =  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K ) ) )
2512, 24eleqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) ) )
26 simpr 448 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )
2719adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  (𝑘Gen `  J )  e.  Top )
28 kgenss 17496 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )
30 ssrest 17162 . . . 4  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e. 
Top  /\  J  C_  (𝑘Gen `  J ) )  -> 
( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
3127, 29, 30syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )
32 eqid 2387 . . . 4  |-  U. (
(𝑘Gen `  J )t  K )  =  U. ( (𝑘Gen `  J )t  K )
3332sscmp 17390 . . 3  |-  ( ( ( Jt  K )  e.  (TopOn `  U. ( (𝑘Gen `  J
)t 
K ) )  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp  /\  ( Jt  K )  C_  (
(𝑘Gen `  J )t  K ) )  ->  ( Jt  K
)  e.  Comp )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( (𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
353, 34impbida 806 1  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( Jt  K )  e.  Comp  <->  (
(𝑘Gen `  J )t  K )  e.  Comp ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899    i^i cin 3262    C_ wss 3263   U.cuni 3957   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   ↾t crest 13575   Topctop 16881  TopOnctopon 16882   Compccmp 17371  𝑘Genckgen 17486
This theorem is referenced by:  kgenidm  17500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-oadd 6664  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049  df-fi 7351  df-rest 13577  df-topgen 13594  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-cmp 17372  df-kgen 17487
  Copyright terms: Public domain W3C validator