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Theorem kgencn 17267
Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, K    k, X    k, Y

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 17249 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
2 iscn 16981 . . 3  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
4 elkgen 17247 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
54ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
6 cnvimass 5049 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
7 fdm 5409 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  dom  F  =  X )
96, 8syl5sseq 3239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
109biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
115, 10bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1211ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
13 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
15 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
1613, 14, 15syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
17 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
18 iscn 16981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
21 fssres 5424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  k  C_  X )  -> 
( F  |`  k
) : k --> Y )
2220, 14, 21syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( F  |`  k ) : k --> Y )
2322biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
2419, 23bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) )
25 cnvresima 5178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  |`  k
) " x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  k )
2625eleq1i 2359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
2726ralbii 2580 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2824, 27syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
2928imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
30 r19.21v 2643 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <-> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3129, 30syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
3231ralbidva 2572 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
33 ralcom 2713 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3432, 33syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3512, 34bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3635pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) ) )
373, 36bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   `'ccnv 4704   dom cdm 4705    |` cres 4707   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   Compccmp 17129  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  kgencn2  17268
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cn 16973  df-cmp 17130  df-kgen 17245
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