Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn Structured version   Unicode version

Theorem kgencn 17590
 Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn TopOn TopOn 𝑘Gen t t
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 17572 . . 3 TopOn 𝑘Gen TopOn
2 iscn 17301 . . 3 𝑘Gen TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
31, 2sylan 459 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen 𝑘Gen
4 elkgen 17570 . . . . . . 7 TopOn 𝑘Gen t t
54ad2antrr 708 . . . . . 6 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
6 cnvimass 5226 . . . . . . . 8
7 fdm 5597 . . . . . . . . 9
87adantl 454 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
96, 8syl5sseq 3398 . . . . . . 7 TopOn TopOn
109biantrurd 496 . . . . . 6 TopOn TopOn t t t t
115, 10bitr4d 249 . . . . 5 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
1211ralbidv 2727 . . . 4 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
13 simpll 732 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn TopOn
14 elpwi 3809 . . . . . . . . . . . 12
15 resttopon 17227 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t TopOn
1613, 14, 15syl2an 465 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t TopOn
17 simpllr 737 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn TopOn
18 iscn 17301 . . . . . . . . . . 11 t TopOn TopOn t t
1916, 17, 18syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t t
20 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
21 fssres 5612 . . . . . . . . . . . 12
2220, 14, 21syl2an 465 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2322biantrurd 496 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t t
2419, 23bitr4d 249 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t t
25 cnvresima 5361 . . . . . . . . . . 11
2625eleq1i 2501 . . . . . . . . . 10 t t
2726ralbii 2731 . . . . . . . . 9 t t
2824, 27syl6bb 254 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t t
2928imbi2d 309 . . . . . . 7 TopOn TopOn t t t t
30 r19.21v 2795 . . . . . . 7 t t t t
3129, 30syl6bbr 256 . . . . . 6 TopOn TopOn t t t t
3231ralbidva 2723 . . . . 5 TopOn TopOn t t t t
33 ralcom 2870 . . . . 5 t t t t
3432, 33syl6rbbr 257 . . . 4 TopOn TopOn t t t t
3512, 34bitrd 246 . . 3 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
3635pm5.32da 624 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
373, 36bitrd 246 1 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  ccnv 4879   cdm 4880   cres 4882  cima 4883  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650  TopOnctopon 16961   ccn 17290  ccmp 17451  𝑘Genckgen 17567 This theorem is referenced by:  kgencn2  17591 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cn 17293  df-cmp 17452  df-kgen 17568
 Copyright terms: Public domain W3C validator