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Theorem kgencn 17251
Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, J    k, K    k, X    k, Y

Proof of Theorem kgencn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgentopon 17233 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (𝑘Gen `  J
)  e.  (TopOn `  X ) )
2 iscn 16965 . . 3  |-  ( ( (𝑘Gen `  J )  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
31, 2sylan 457 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) ) ) )
4 elkgen 17231 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
54ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
6 cnvimass 5033 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
7 fdm 5393 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  dom  F  =  X )
87adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  dom  F  =  X )
96, 8syl5sseq 3226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( `' F " x ) 
C_  X )
109biantrurd 494 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  ( ( `' F " x ) 
C_  X  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) ) )
115, 10bitr4d 247 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( `' F "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1211ralbidv 2563 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
13 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
14 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
15 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  k  C_  X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
1613, 14, 15syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k ) )
17 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
18 iscn 16965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  k )  e.  (TopOn `  k )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
20 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  F : X --> Y )
21 fssres 5408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : X --> Y  /\  k  C_  X )  -> 
( F  |`  k
) : k --> Y )
2220, 14, 21syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( F  |`  k ) : k --> Y )
2322biantrurd 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( F  |`  k ) : k --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k )
" x )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
2419, 23bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k ) ) )
25 cnvresima 5162 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' ( F  |`  k
) " x )  =  ( ( `' F " x )  i^i  k )
2625eleq1i 2346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )
2726ralbii 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  K  ( `' ( F  |`  k ) " x
)  e.  ( Jt  k )  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )
2824, 27syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
)  <->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) )
2928imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
30 r19.21v 2630 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  K  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <-> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  A. x  e.  K  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3129, 30syl6bbr 254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( ( `' F " x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) ) ) )
3231ralbidva 2559 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) ) )
33 ralcom 2700 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X A. x  e.  K  ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F " x )  i^i  k )  e.  ( Jt  k ) ) )
3432, 33syl6rbbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( ( `' F "
x )  i^i  k
)  e.  ( Jt  k ) )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3512, 34bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
3635pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) ) )
373, 36bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   `'ccnv 4688   dom cdm 4689    |` cres 4691   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  kgencn2  17252
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-kgen 17229
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