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Theorem kgencn2 17620
Description: A function  F : J
--> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces  z and continuous  g : z --> J, the composite  F  o.  g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, F    g, J, z    g, K, z    g, X, z   
g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgencn 17619 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
2 rncmp 17490 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J
) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
32adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
4 simprr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  J
) )
5 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. z  =  U. z
6 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 17341 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( z  Cn  J )  ->  g : U. z --> U. J
)
8 frn 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : U. z --> U. J  ->  ran  g  C_  U. J )
94, 7, 83syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  U. J )
10 toponuni 17023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1110ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  X  =  U. J )
129, 11sseqtr4d 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  X )
13 vex 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
1413rnex 5162 . . . . . . . . . 10  |-  ran  g  e.  _V
1514elpw 3829 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  e.  ~P X  <->  ran  g  C_  X )
1612, 15sylibr 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  e.  ~P X
)
17 oveq2 6118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  ran  g ) )
1817eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  ran  g
)  e.  Comp )
)
19 reseq2 5170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( F  |`  k
)  =  ( F  |`  ran  g ) )
2017oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  Cn  K )  =  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) )
2119, 20eleq12d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |` 
ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) ) )
2218, 21imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <-> 
( ( Jt  ran  g
)  e.  Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) ) ) )
2322rspcv 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ran  g  e.  ~P X  ->  ( A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) )  ->  (
( Jt  ran  g )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) ) )
2416, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( ( Jt  ran  g )  e.  Comp  -> 
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K ) ) ) )
253, 24mpid 40 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) )
26 simplll 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
27 ssid 3353 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  g  C_ 
ran  g
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  ran  g )
29 cnrest2 17381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  g  C_  ran  g  /\  ran  g  C_  X )  ->  ( g  e.  ( z  Cn  J
)  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
3026, 28, 12, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
g  e.  ( z  Cn  J )  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
314, 30mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) )
32 cnco 17361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g
) )  /\  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3332ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
3431, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
35 cores 5402 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  C_  ran  g  -> 
( ( F  |`  ran  g )  o.  g
)  =  ( F  o.  g ) )
3627, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  =  ( F  o.  g
)
3736eleq1i 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3834, 37syl6ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
) ) )
3925, 38syld 43 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
4039ralrimdvva 2807 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
41 oveq1 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  J )  =  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
42 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  K )  =  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
4342eleq2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
)  <->  ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4441, 43raleqbidv 2922 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4544rspcv 3054 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
46 elpwi 3831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
4746adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_  X )
48 resabs1 5204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k 
C_  X  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  =  (  _I  |`  k )
)
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  =  (  _I  |`  k )
)
50 idcn 17352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
5150ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J
) )
5210ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
5347, 52sseqtrd 3370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_ 
U. J )
546cnrest 17380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J )  /\  k  C_ 
U. J )  -> 
( (  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5551, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5649, 55eqeltrrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
57 coeq2 5060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  (  _I  |`  k ) ) )
5857eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
5958rspcv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J )  -> 
( A. g  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
6056, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
61 coires1 5416 . . . . . . . . 9  |-  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  =  ( F  |`  k )
6261eleq1i 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
6360, 62syl6ib 219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
6445, 63syl9r 70 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6564com23 75 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) )
6665ralrimdva 2802 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6740, 66impbid 185 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
6867pm5.32da 624 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
691, 68bitrd 246 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   A.wral 2711    C_ wss 3306   ~Pcpw 3823   U.cuni 4039    _I cid 4522   ran crn 4908    |` cres 4909    o. ccom 4911   -->wf 5479   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   ↾t crest 13679  TopOnctopon 16990    Cn ccn 17319   Compccmp 17480  𝑘Genckgen 17596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin 7142  df-fi 7445  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cn 17322  df-cmp 17481  df-kgen 17597
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