Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgencn2 Structured version   Unicode version

Theorem kgencn2 17620
 Description: A function from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces and continuous , the composite is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn2 TopOn TopOn 𝑘Gen
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem kgencn2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgencn 17619 . 2 TopOn TopOn 𝑘Gen t t
2 rncmp 17490 . . . . . . . 8 t
32adantl 454 . . . . . . 7 TopOn TopOn t
4 simprr 735 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
5 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12
6 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12
75, 6cnf 17341 . . . . . . . . . . 11
8 frn 5626 . . . . . . . . . . 11
94, 7, 83syl 19 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
10 toponuni 17023 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1110ad3antrrr 712 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
129, 11sseqtr4d 3371 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
13 vex 2965 . . . . . . . . . . 11
1413rnex 5162 . . . . . . . . . 10
1514elpw 3829 . . . . . . . . 9
1612, 15sylibr 205 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
17 oveq2 6118 . . . . . . . . . . 11 t t
1817eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10 t t
19 reseq2 5170 . . . . . . . . . . 11
2017oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11 t t
2119, 20eleq12d 2510 . . . . . . . . . 10 t t
2218, 21imbi12d 313 . . . . . . . . 9 t t t t
2322rspcv 3054 . . . . . . . 8 t t t t
2416, 23syl 16 . . . . . . 7 TopOn TopOn t t t t
253, 24mpid 40 . . . . . 6 TopOn TopOn t t t
26 simplll 736 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
27 ssid 3353 . . . . . . . . . . 11
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
29 cnrest2 17381 . . . . . . . . . 10 TopOn t
3026, 28, 12, 29syl3anc 1185 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
314, 30mpbid 203 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t
32 cnco 17361 . . . . . . . . 9 t t
3332ex 425 . . . . . . . 8 t t
3431, 33syl 16 . . . . . . 7 TopOn TopOn t
35 cores 5402 . . . . . . . . 9
3627, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8
3736eleq1i 2505 . . . . . . 7
3834, 37syl6ib 219 . . . . . 6 TopOn TopOn t
3925, 38syld 43 . . . . 5 TopOn TopOn t t
4039ralrimdvva 2807 . . . 4 TopOn TopOn t t
41 oveq1 6117 . . . . . . . . 9 t t
42 oveq1 6117 . . . . . . . . . 10 t t
4342eleq2d 2509 . . . . . . . . 9 t t
4441, 43raleqbidv 2922 . . . . . . . 8 t t t
4544rspcv 3054 . . . . . . 7 t t t
46 elpwi 3831 . . . . . . . . . . . 12
4746adantl 454 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
48 resabs1 5204 . . . . . . . . . . 11
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
50 idcn 17352 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
5150ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
5210ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
5347, 52sseqtrd 3370 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
546cnrest 17380 . . . . . . . . . . 11 t
5551, 53, 54syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn t
5649, 55eqeltrrd 2517 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn t
57 coeq2 5060 . . . . . . . . . . 11
5857eleq1d 2508 . . . . . . . . . 10 t t
5958rspcv 3054 . . . . . . . . 9 t t t t
6056, 59syl 16 . . . . . . . 8 TopOn TopOn t t t
61 coires1 5416 . . . . . . . . 9
6261eleq1i 2505 . . . . . . . 8 t t
6360, 62syl6ib 219 . . . . . . 7 TopOn TopOn t t t
6445, 63syl9r 70 . . . . . 6 TopOn TopOn t t
6564com23 75 . . . . 5 TopOn TopOn t t
6665ralrimdva 2802 . . . 4 TopOn TopOn t t
6740, 66impbid 185 . . 3 TopOn TopOn t t
6867pm5.32da 624 . 2 TopOn TopOn t t
691, 68bitrd 246 1 TopOn TopOn 𝑘Gen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1727  wral 2711   wss 3306  cpw 3823  cuni 4039   cid 4522   crn 4908   cres 4909   ccom 4911  wf 5479  cfv 5483  (class class class)co 6110   ↾t crest 13679  TopOnctopon 16990   ccn 17319  ccmp 17480  𝑘Genckgen 17596 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin 7142  df-fi 7445  df-rest 13681  df-topgen 13698  df-top 16994  df-bases 16996  df-topon 16997  df-cn 17322  df-cmp 17481  df-kgen 17597
 Copyright terms: Public domain W3C validator