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Theorem kgencn2 17252
Description: A function  F : J
--> K from a compactly generated space is continuous iff for all compact spaces  z and continuous  g : z --> J, the composite  F  o.  g : z --> K is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, g, F    g, J, z    g, K, z    g, X, z   
g, Y, z

Proof of Theorem kgencn2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgencn 17251 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) ) )
2 rncmp 17123 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J
) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
32adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( Jt  ran  g )  e.  Comp )
4 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  J
) )
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. z  =  U. z
6 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
75, 6cnf 16976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  e.  ( z  Cn  J )  ->  g : U. z --> U. J
)
8 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : U. z --> U. J  ->  ran  g  C_  U. J )
94, 7, 83syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  U. J )
10 toponuni 16665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1110ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  X  =  U. J )
129, 11sseqtr4d 3215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  X )
13 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  g  e. 
_V
1413rnex 4942 . . . . . . . . . 10  |-  ran  g  e.  _V
1514elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  e.  ~P X  <->  ran  g  C_  X )
1612, 15sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  e.  ~P X
)
17 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( Jt  k )  =  ( Jt  ran  g ) )
1817eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  e.  Comp  <->  ( Jt  ran  g
)  e.  Comp )
)
19 reseq2 4950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( F  |`  k
)  =  ( F  |`  ran  g ) )
2017oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( Jt  k )  Cn  K )  =  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) )
2119, 20eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |` 
ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K ) ) )
2218, 21imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ran  g  -> 
( ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <-> 
( ( Jt  ran  g
)  e.  Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) ) ) )
2322rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( ran  g  e.  ~P X  ->  ( A. k  e. 
~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) )  ->  (
( Jt  ran  g )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) ) )
2416, 23syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( ( Jt  ran  g )  e.  Comp  -> 
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K ) ) ) )
253, 24mpid 37 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K ) ) )
26 simplll 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
27 ssid 3197 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  g  C_ 
ran  g
2827a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ran  g  C_  ran  g )
29 cnrest2 17014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ran  g  C_  ran  g  /\  ran  g  C_  X )  ->  ( g  e.  ( z  Cn  J
)  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
3026, 28, 12, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
g  e.  ( z  Cn  J )  <->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) ) )
314, 30mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) ) )
32 cnco 16995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g
) )  /\  ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g )  Cn  K
) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3332ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  ( z  Cn  ( Jt  ran  g ) )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  e.  ( ( Jt  ran  g
)  Cn  K )  ->  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
3431, 33syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
35 cores 5176 . . . . . . . . 9  |-  ( ran  g  C_  ran  g  -> 
( ( F  |`  ran  g )  o.  g
)  =  ( F  o.  g ) )
3627, 35ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  |`  ran  g )  o.  g )  =  ( F  o.  g
)
3736eleq1i 2346 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  |`  ran  g
)  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) )
3834, 37syl6ib 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  (
( F  |`  ran  g
)  e.  ( ( Jt 
ran  g )  Cn  K )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
) ) )
3925, 38syld 40 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  ( z  e. 
Comp  /\  g  e.  ( z  Cn  J ) ) )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
4039ralrimdvva 2638 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  ->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
41 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  J )  =  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
42 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( z  Cn  K )  =  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
4342eleq2d 2350 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K
)  <->  ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4441, 43raleqbidv 2748 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( Jt  k )  ->  ( A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  <->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
4544rspcv 2880 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
46 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P X  -> 
k  C_  X )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_  X )
48 resabs1 4984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k 
C_  X  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  =  (  _I  |`  k )
)
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  =  (  _I  |`  k )
)
50 idcn 16987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J ) )
5150ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J
) )
5210ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  X  =  U. J )
5347, 52sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  k  C_ 
U. J )
546cnrest 17013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  _I  |`  X )  e.  ( J  Cn  J )  /\  k  C_ 
U. J )  -> 
( (  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5551, 53, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
(  _I  |`  X )  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
5649, 55eqeltrrd 2358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) )
57 coeq2 4842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( F  o.  g )  =  ( F  o.  (  _I  |`  k ) ) )
5857eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  (  _I  |`  k
)  ->  ( ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
5958rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J )  -> 
( A. g  e.  ( ( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  ->  ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
6056, 59syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )
61 coires1 5190 . . . . . . . . 9  |-  ( F  o.  (  _I  |`  k
) )  =  ( F  |`  k )
6261eleq1i 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  o.  (  _I  |`  k ) )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  <->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )
6360, 62syl6ib 217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. g  e.  (
( Jt  k )  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) )
6445, 63syl9r 67 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K )  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6564com23 72 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  k  e.  ~P X )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  (
( Jt  k )  e. 
Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) ) )
6665ralrimdva 2633 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K )  ->  A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  -> 
( F  |`  k
)  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K
) ) ) )
6740, 66impbid 183 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. k  e.  ~P  X ( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) )  <->  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) )
6867pm5.32da 622 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. k  e.  ~P  X
( ( Jt  k )  e.  Comp  ->  ( F  |`  k )  e.  ( ( Jt  k )  Cn  K ) ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. z  e. 
Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J ) ( F  o.  g
)  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
691, 68bitrd 244 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( (𝑘Gen `  J )  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. z  e.  Comp  A. g  e.  ( z  Cn  J
) ( F  o.  g )  e.  ( z  Cn  K ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    _I cid 4304   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-kgen 17229
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