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Theorem kgencn3 17253
Description: The set of continuous functions from  J to  K is unaffected by k-ification of  K, if  J is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 16976 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> U. K
)
43adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f : U. J
--> U. K )
5 cnvimass 5033 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x ) 
C_  dom  f
6 fdm 5393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
74, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
95, 8syl5sseq 3226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  C_  U. J )
10 cnvresima 5162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( f  |`  y
) " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  i^i  y )
114ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f : U. J --> U. K
)
12 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  Fun  f )
13 inpreima 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  f  ->  ( `' f " ( x  i^i  ( f " y
) ) )  =  ( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) ) )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' f " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) ) )
1514ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
) )
16 in32 3381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )
17 ssrin 3394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' f " x
)  C_  dom  f  -> 
( ( `' f
" x )  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y
) )
185, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y )
19 dminss 5095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  f  i^i  y ) 
C_  ( `' f
" ( f "
y ) )
2018, 19sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( `' f "
( f " y
) )
2120a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) ) )
22 df-ss 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) )  <->  ( (
( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " x )  i^i  y ) )
2321, 22sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  y )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2416, 23syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) )  i^i  y )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2515, 24eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
2610, 25syl5eq 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
27 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2827ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
29 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P U. J  ->  y  C_  U. J )
3029ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  y  C_ 
U. J )
311cnrest 17013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  C_  U. J )  ->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
3228, 30, 31syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
33 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
3433ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  Top )
352toptopon 16671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3634, 35sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
37 df-ima 4702 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
3837eqimss2i 3233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
f  |`  y )  C_  ( f " y
)
3938a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y ) )
40 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" y )  C_  ran  f
41 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  ran  f  C_  U. K
)
4211, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  f  C_  U. K )
4340, 42syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f " y ) 
C_  U. K )
44 cnrest2 17014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y )  /\  ( f " y
)  C_  U. K )  ->  ( ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K )  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4536, 39, 43, 44syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K
)  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4632, 45mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f
" y ) ) ) )
47 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )
48 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  y )  e.  Comp )
49 imacmp 17124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  y )  e. 
Comp )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
5028, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
51 kgeni 17232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  K
)  /\  ( Kt  (
f " y ) )  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )
5247, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
x  i^i  ( f " y ) )  e.  ( Kt  ( f
" y ) ) )
53 cnima 16994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f " y
) ) )  /\  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5446, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5526, 54eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) )
5655expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  y  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( ( `' f " x )  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
5756ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) )
58 kgentop 17237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
5958ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  Top )
601toptopon 16671 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6159, 60sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
62 elkgen 17231 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
( `' f "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
6361, 62syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( ( `' f " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
649, 57, 63mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
65 kgenidm 17242 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
6665ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
6764, 66eleqtrd 2359 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  J )
6867ralrimiva 2626 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J )
6958, 60sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 kgentopon 17233 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
7135, 70sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
72 iscn 16965 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
7369, 71, 72syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <-> 
( f : U. J
--> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K
) ( `' f
" x )  e.  J ) ) )
7473adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
754, 68, 74mpbir2and 888 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
7675ex 423 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  -> 
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) ) )
7776ssrdv 3185 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
7871adantl 452 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
79 toponcom 16668 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
8033, 78, 79syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
81 kgenss 17238 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
8281adantl 452 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
83 eqid 2283 . . . 4  |-  U. (𝑘Gen `  K )  =  U. (𝑘Gen
`  K )
8483cnss2 17006 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K ) )  /\  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )  -> 
( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  C_  ( J  Cn  K
) )
8580, 82, 84syl2anc 642 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) 
C_  ( J  Cn  K ) )
8677, 85eqssd 3196 1  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632    Cn ccn 16954   Compccmp 17113  𝑘Genckgen 17228
This theorem is referenced by:  kgen2cn  17254  txkgen  17346  qtopkgen  17401
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-cmp 17114  df-kgen 17229
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