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Theorem kgencn3 17582
Description: The set of continuous functions from  J to  K is unaffected by k-ification of  K, if  J is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 17302 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> U. K
)
43adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f : U. J
--> U. K )
5 cnvimass 5216 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x ) 
C_  dom  f
6 fdm 5587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
95, 8syl5sseq 3388 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  C_  U. J )
10 cnvresima 5351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( f  |`  y
) " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  i^i  y )
114ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f : U. J --> U. K
)
12 ffun 5585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  Fun  f )
13 inpreima 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  f  ->  ( `' f " ( x  i^i  ( f " y
) ) )  =  ( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) ) )
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' f " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) ) )
1514ineq1d 3533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
) )
16 in32 3545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )
17 ssrin 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' f " x
)  C_  dom  f  -> 
( ( `' f
" x )  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y
) )
185, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y )
19 dminss 5278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  f  i^i  y ) 
C_  ( `' f
" ( f "
y ) )
2018, 19sstri 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( `' f "
( f " y
) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) ) )
22 df-ss 3326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) )  <->  ( (
( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " x )  i^i  y ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  y )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2416, 23syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) )  i^i  y )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2515, 24eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
2610, 25syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
29 elpwi 3799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P U. J  ->  y  C_  U. J )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  y  C_ 
U. J )
311cnrest 17341 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  C_  U. J )  ->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
3228, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
33 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
3433ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  Top )
352toptopon 16990 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3634, 35sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
37 df-ima 4883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
3837eqimss2i 3395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
f  |`  y )  C_  ( f " y
)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y ) )
40 imassrn 5208 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" y )  C_  ran  f
41 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  ran  f  C_  U. K
)
4211, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  f  C_  U. K )
4340, 42syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f " y ) 
C_  U. K )
44 cnrest2 17342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y )  /\  ( f " y
)  C_  U. K )  ->  ( ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K )  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4536, 39, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K
)  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4632, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f
" y ) ) ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )
48 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  y )  e.  Comp )
49 imacmp 17452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  y )  e. 
Comp )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
5028, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
51 kgeni 17561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  K
)  /\  ( Kt  (
f " y ) )  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )
5247, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
x  i^i  ( f " y ) )  e.  ( Kt  ( f
" y ) ) )
53 cnima 17321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f " y
) ) )  /\  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5446, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5526, 54eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) )
5655expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  y  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( ( `' f " x )  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
5756ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) )
58 kgentop 17566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
5958ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  Top )
601toptopon 16990 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6159, 60sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
62 elkgen 17560 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
( `' f "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( ( `' f " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
649, 57, 63mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
65 kgenidm 17571 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
6665ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
6764, 66eleqtrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  J )
6867ralrimiva 2781 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J )
6958, 60sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 kgentopon 17562 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
7135, 70sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
72 iscn 17291 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
7369, 71, 72syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <-> 
( f : U. J
--> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K
) ( `' f
" x )  e.  J ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
754, 68, 74mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
7675ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  -> 
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) ) )
7776ssrdv 3346 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
7871adantl 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
79 toponcom 16987 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
8033, 78, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
81 kgenss 17567 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
8281adantl 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
83 eqid 2435 . . . 4  |-  U. (𝑘Gen `  K )  =  U. (𝑘Gen
`  K )
8483cnss2 17333 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K ) )  /\  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )  -> 
( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  C_  ( J  Cn  K
) )
8580, 82, 84syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) 
C_  ( J  Cn  K ) )
8677, 85eqssd 3357 1  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    i^i cin 3311    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   U.cuni 4007   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280   Compccmp 17441  𝑘Genckgen 17557
This theorem is referenced by:  kgen2cn  17583  txkgen  17676  qtopkgen  17734
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cn 17283  df-cmp 17442  df-kgen 17558
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