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Theorem kgencn3 17512
Description: The set of continuous functions from  J to  K is unaffected by k-ification of  K, if  J is already compactly generated. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgencn3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )

Proof of Theorem kgencn3
Dummy variables  x  f  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2388 . . . . . . 7  |-  U. K  =  U. K
31, 2cnf 17233 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( J  Cn  K )  ->  f : U. J --> U. K
)
43adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f : U. J
--> U. K )
5 cnvimass 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " x ) 
C_  dom  f
6 fdm 5536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  dom  f  =  U. J )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  dom  f  =  U. J )
95, 8syl5sseq 3340 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  C_  U. J )
10 cnvresima 5300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( f  |`  y
) " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " ( x  i^i  ( f "
y ) ) )  i^i  y )
114ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f : U. J --> U. K
)
12 ffun 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  Fun  f )
13 inpreima 5797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  f  ->  ( `' f " ( x  i^i  ( f " y
) ) )  =  ( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) ) )
1411, 12, 133syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' f " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) ) )
1514ineq1d 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
) )
16 in32 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )
17 ssrin 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' f " x
)  C_  dom  f  -> 
( ( `' f
" x )  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y
) )
185, 17ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( dom  f  i^i  y )
19 dminss 5227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( dom  f  i^i  y ) 
C_  ( `' f
" ( f "
y ) )
2018, 19sstri 3301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' f " x
)  i^i  y )  C_  ( `' f "
( f " y
) )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) ) )
22 df-ss 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  C_  ( `' f " ( f "
y ) )  <->  ( (
( `' f "
x )  i^i  y
)  i^i  ( `' f " ( f "
y ) ) )  =  ( ( `' f " x )  i^i  y ) )
2321, 22sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  y )  i^i  ( `' f " (
f " y ) ) )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2416, 23syl5eq 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( ( `' f
" x )  i^i  ( `' f "
( f " y
) ) )  i^i  y )  =  ( ( `' f "
x )  i^i  y
) )
2515, 24eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
( x  i^i  (
f " y ) ) )  i^i  y
)  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
2610, 25syl5eq 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  =  ( ( `' f " x
)  i^i  y )
)
27 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K ) )
2827ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  K
) )
29 elpwi 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P U. J  ->  y  C_  U. J )
3029ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  y  C_ 
U. J )
311cnrest 17272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  y  C_  U. J )  ->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
3228, 30, 31syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K ) )
33 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  Top )
3433ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  Top )
352toptopon 16922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3634, 35sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
37 df-ima 4832 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f
" y )  =  ran  ( f  |`  y )
3837eqimss2i 3347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ran  (
f  |`  y )  C_  ( f " y
)
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y ) )
40 imassrn 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" y )  C_  ran  f
41 frn 5538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : U. J --> U. K  ->  ran  f  C_  U. K
)
4211, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ran  f  C_  U. K )
4340, 42syl5ss 3303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f " y ) 
C_  U. K )
44 cnrest2 17273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. K )  /\  ran  ( f  |`  y
)  C_  ( f " y )  /\  ( f " y
)  C_  U. K )  ->  ( ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K )  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4536, 39, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  K
)  <->  ( f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f "
y ) ) ) ) )
4632, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
f  |`  y )  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f
" y ) ) ) )
47 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )
48 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Jt  y )  e.  Comp )
49 imacmp 17383 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( Jt  y )  e. 
Comp )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
5028, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( Kt  ( f " y
) )  e.  Comp )
51 kgeni 17491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  (𝑘Gen `  K
)  /\  ( Kt  (
f " y ) )  e.  Comp )  ->  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )
5247, 50, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
x  i^i  ( f " y ) )  e.  ( Kt  ( f
" y ) ) )
53 cnima 17252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  |`  y
)  e.  ( ( Jt  y )  Cn  ( Kt  ( f " y
) ) )  /\  ( x  i^i  (
f " y ) )  e.  ( Kt  ( f " y ) ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5446, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  ( `' ( f  |`  y ) " (
x  i^i  ( f " y ) ) )  e.  ( Jt  y ) )
5526, 54eqeltrrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  ( y  e. 
~P U. J  /\  ( Jt  y )  e.  Comp ) )  ->  (
( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) )
5655expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e. 
Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K
) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  /\  y  e.  ~P U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( ( `' f " x )  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
5756ralrimiva 2733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) )
58 kgentop 17496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  Top )
5958ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  Top )
601toptopon 16922 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6159, 60sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
62 elkgen 17490 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  (
( `' f "
x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( ( `' f " x )  e.  (𝑘Gen `  J )  <->  ( ( `' f " x
)  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( ( `' f "
x )  i^i  y
)  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
649, 57, 63mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  (𝑘Gen `  J ) )
65 kgenidm 17501 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  (𝑘Gen `  J
)  =  J )
6665ad3antrrr 711 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  (𝑘Gen `  J )  =  J )
6764, 66eleqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
ran 𝑘Gen 
/\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  x  e.  (𝑘Gen `  K ) )  ->  ( `' f
" x )  e.  J )
6867ralrimiva 2733 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J )
6958, 60sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ran 𝑘Gen  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 kgentopon 17492 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
7135, 70sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
72 iscn 17222 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
7369, 71, 72syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <-> 
( f : U. J
--> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K
) ( `' f
" x )  e.  J ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  <->  ( f : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  (𝑘Gen `  K ) ( `' f " x )  e.  J ) ) )
754, 68, 74mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  /\  f  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K
) ) )
7675ex 424 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (
f  e.  ( J  Cn  K )  -> 
f  e.  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) ) )
7776ssrdv 3298 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  C_  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
7871adantl 453 . . . 4  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  (𝑘Gen `  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )
79 toponcom 16919 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Top  /\  (𝑘Gen
`  K )  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
8033, 78, 79syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K
) ) )
81 kgenss 17497 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
8281adantl 453 . . 3  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )
83 eqid 2388 . . . 4  |-  U. (𝑘Gen `  K )  =  U. (𝑘Gen
`  K )
8483cnss2 17264 . . 3  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  U. (𝑘Gen `  K ) )  /\  K  C_  (𝑘Gen `  K ) )  -> 
( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) )  C_  ( J  Cn  K
) )
8580, 82, 84syl2anc 643 . 2  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) 
C_  ( J  Cn  K ) )
8677, 85eqssd 3309 1  |-  ( ( J  e.  ran 𝑘Gen  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K )  =  ( J  Cn  (𝑘Gen `  K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    i^i cin 3263    C_ wss 3264   ~Pcpw 3743   U.cuni 3958   `'ccnv 4818   dom cdm 4819   ran crn 4820    |` cres 4821   "cima 4822   Fun wfun 5389   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211   Compccmp 17372  𝑘Genckgen 17487
This theorem is referenced by:  kgen2cn  17513  txkgen  17606  qtopkgen  17664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cn 17214  df-cmp 17373  df-kgen 17488
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