MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenf Unicode version

Theorem kgenf 17534
Description: The compact generator is a function on topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenf  |- 𝑘Gen : Top --> Top

Proof of Theorem kgenf
Dummy variables  j 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2927 . . . . . . 7  |-  j  e. 
_V
21uniex 4672 . . . . . 6  |-  U. j  e.  _V
32pwex 4350 . . . . 5  |-  ~P U. j  e.  _V
43rabex 4322 . . . 4  |-  { x  e.  ~P U. j  | 
A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) }  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( (  T.  /\  j  e. 
Top )  ->  { x  e.  ~P U. j  | 
A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) }  e.  _V )
6 df-kgen 17527 . . . 4  |- 𝑘Gen  =  (
j  e.  Top  |->  { x  e.  ~P U. j  |  A. k  e.  ~P  U. j ( ( jt  k )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) } )
76a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
-> 𝑘Gen 
=  ( j  e. 
Top  |->  { x  e. 
~P U. j  |  A. k  e.  ~P  U. j
( ( jt  k )  e.  Comp  ->  ( x  i^i  k )  e.  ( jt  k ) ) } ) )
8 kgenftop 17533 . . . 4  |-  ( x  e.  Top  ->  (𝑘Gen `  x )  e.  Top )
98adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e. 
Top )  ->  (𝑘Gen `  x )  e.  Top )
105, 7, 9fmpt2d 5865 . 2  |-  (  T. 
-> 𝑘Gen
: Top --> Top )
1110trud 1329 1  |- 𝑘Gen : Top --> Top
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   {crab 2678   _Vcvv 2924    i^i cin 3287   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983    e. cmpt 4234   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   ↾t crest 13611   Topctop 16921   Compccmp 17411  𝑘Genckgen 17526
This theorem is referenced by:  kgentop  17535  kgenidm  17540  iskgen2  17541  kgen2cn  17552
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-oadd 6695  df-er 6872  df-en 7077  df-fin 7080  df-fi 7382  df-rest 13613  df-topgen 13630  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-cmp 17412  df-kgen 17527
  Copyright terms: Public domain W3C validator