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Theorem kgeni 17248
Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgeni  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )

Proof of Theorem kgeni
Dummy variables  y  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3392 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )
2 in32 3394 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K )
31, 2eqtr3i 2318 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)
4 df-kgen 17245 . . . . . . . . . . . 12  |- 𝑘Gen  =  (
j  e.  Top  |->  { x  e.  ~P U. j  |  A. y  e.  ~P  U. j ( ( jt  y )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( jt  y ) ) } )
54dmmptss 5185 . . . . . . . . . . 11  |-  dom 𝑘Gen  C_  Top
6 elfvdm 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  dom 𝑘Gen )
75, 6sseldi 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  Top )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
9 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
109toptopon 16687 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
118, 10sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  e.  (𝑘Gen `  J
) )
13 elkgen 17247 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
1413biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  A  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1511, 12, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1615simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  C_  U. J )
17 df-ss 3179 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1816, 17sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1918ineq1d 3382 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)  =  ( A  i^i  K ) )
203, 19syl5eq 2340 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( A  i^i  K ) )
21 inss2 3403 . . . . 5  |-  ( K  i^i  U. J ) 
C_  U. J
22 cmptop 17138 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Comp  -> 
( Jt  K )  e.  Top )
2322adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
24 restrcl 16904 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  K  e.  _V )
)
2524simprd 449 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
2623, 25syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  K  e.  _V )
27 inex1g 4173 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  _V )
28 elpwg 3645 . . . . . 6  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  _V  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
2926, 27, 283syl 18 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
3021, 29mpbiri 224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J )
3115simprd 449 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
329restin 16913 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
338, 26, 32syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
34 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
3533, 34eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp )
36 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( Jt  y )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
3736eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp ) )
38 ineq2 3377 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( A  i^i  y )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) ) )
3938, 36eleq12d 2364 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( A  i^i  y
)  e.  ( Jt  y )  <->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) ) )
4037, 39imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  <-> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4140rspcv 2893 . . . 4  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  ~P U. J  ->  ( A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  -> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4230, 31, 35, 41syl3c 57 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4320, 42eqeltrrd 2371 . 2  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4443, 33eleqtrrd 2373 1  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   U.cuni 3843   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   Compccmp 17129  𝑘Genckgen 17244
This theorem is referenced by:  kgentopon  17249  kgencmp  17256  kgenidm  17258  llycmpkgen2  17261  1stckgen  17265  kgencn3  17269  txkgen  17362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-rest 13343  df-top 16652  df-topon 16655  df-cmp 17130  df-kgen 17245
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