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Theorem kgeni 17571
Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgeni  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )

Proof of Theorem kgeni
Dummy variables  y  x  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3553 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )
2 in32 3555 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  K )  i^i  U. J )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K )
31, 2eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)
4 df-kgen 17568 . . . . . . . . . . . 12  |- 𝑘Gen  =  (
j  e.  Top  |->  { x  e.  ~P U. j  |  A. y  e.  ~P  U. j ( ( jt  y )  e. 
Comp  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( jt  y ) ) } )
54dmmptss 5368 . . . . . . . . . . 11  |-  dom 𝑘Gen  C_  Top
6 elfvdm 5759 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  dom 𝑘Gen )
75, 6sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  (𝑘Gen `  J )  ->  J  e.  Top )
87adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  Top )
9 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  U. J  =  U. J
109toptopon 17000 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
118, 10sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
12 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  e.  (𝑘Gen `  J
) )
13 elkgen 17570 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  <->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) ) )
1413biimpa 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  A  e.  (𝑘Gen `  J ) )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1511, 12, 14syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  C_  U. J  /\  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) ) )
1615simpld 447 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A  C_  U. J )
17 df-ss 3336 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  U. J  <->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1816, 17sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  A )
1918ineq1d 3543 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( A  i^i  U. J )  i^i  K
)  =  ( A  i^i  K ) )
203, 19syl5eq 2482 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  =  ( A  i^i  K ) )
21 inss2 3564 . . . . 5  |-  ( K  i^i  U. J ) 
C_  U. J
22 cmptop 17460 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Comp  -> 
( Jt  K )  e.  Top )
2322adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Top )
24 restrcl 17223 . . . . . . . 8  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  ( J  e.  _V  /\  K  e.  _V )
)
2524simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ( Jt  K )  e.  Top  ->  K  e.  _V )
2623, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  K  e.  _V )
27 inex1g 4348 . . . . . 6  |-  ( K  e.  _V  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  _V )
28 elpwg 3808 . . . . . 6  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  _V  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
2926, 27, 283syl 19 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J  <->  ( K  i^i  U. J )  C_  U. J
) )
3021, 29mpbiri 226 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( K  i^i  U. J )  e.  ~P U. J )
3115simprd 451 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) ) )
329restin 17232 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  _V )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
338, 26, 32syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
34 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  K )  e.  Comp )
3533, 34eqeltrrd 2513 . . . 4  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp )
36 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( Jt  y )  =  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) )
3736eleq1d 2504 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( Jt  y )  e. 
Comp 
<->  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e. 
Comp ) )
38 ineq2 3538 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  ( A  i^i  y )  =  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) ) )
3938, 36eleq12d 2506 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( A  i^i  y
)  e.  ( Jt  y )  <->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J
) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J ) ) ) )
4037, 39imbi12d 313 . . . . 5  |-  ( y  =  ( K  i^i  U. J )  ->  (
( ( Jt  y )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  <-> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4140rspcv 3050 . . . 4  |-  ( ( K  i^i  U. J
)  e.  ~P U. J  ->  ( A. y  e.  ~P  U. J ( ( Jt  y )  e. 
Comp  ->  ( A  i^i  y )  e.  ( Jt  y ) )  -> 
( ( Jt  ( K  i^i  U. J ) )  e.  Comp  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) ) ) )
4230, 31, 35, 41syl3c 60 . . 3  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  ( K  i^i  U. J ) )  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4320, 42eqeltrrd 2513 . 2  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  ( K  i^i  U. J
) ) )
4443, 33eleqtrrd 2515 1  |-  ( ( A  e.  (𝑘Gen `  J
)  /\  ( Jt  K
)  e.  Comp )  ->  ( A  i^i  K
)  e.  ( Jt  K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   dom cdm 4880   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650   Topctop 16960  TopOnctopon 16961   Compccmp 17451  𝑘Genckgen 17567
This theorem is referenced by:  kgentopon  17572  kgencmp  17579  kgenidm  17581  llycmpkgen2  17584  1stckgen  17588  kgencn3  17592  txkgen  17686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-rest 13652  df-top 16965  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-kgen 17568
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