Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgeni Structured version   Unicode version

Theorem kgeni 17571
 Description: Property of the open sets in the compact generator. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgeni 𝑘Gen t t

Proof of Theorem kgeni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inass 3553 . . . . 5
2 in32 3555 . . . . 5
31, 2eqtr3i 2460 . . . 4
4 df-kgen 17568 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen t t
54dmmptss 5368 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen
6 elfvdm 5759 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen 𝑘Gen
75, 6sseldi 3348 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen
87adantr 453 . . . . . . . . 9 𝑘Gen t
9 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
109toptopon 17000 . . . . . . . . 9 TopOn
118, 10sylib 190 . . . . . . . 8 𝑘Gen t TopOn
12 simpl 445 . . . . . . . 8 𝑘Gen t 𝑘Gen
13 elkgen 17570 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
1413biimpa 472 . . . . . . . 8 TopOn 𝑘Gen t t
1511, 12, 14syl2anc 644 . . . . . . 7 𝑘Gen t t t
1615simpld 447 . . . . . 6 𝑘Gen t
17 df-ss 3336 . . . . . 6
1816, 17sylib 190 . . . . 5 𝑘Gen t
1918ineq1d 3543 . . . 4 𝑘Gen t
203, 19syl5eq 2482 . . 3 𝑘Gen t
21 inss2 3564 . . . . 5
22 cmptop 17460 . . . . . . . 8 t t
2322adantl 454 . . . . . . 7 𝑘Gen t t
24 restrcl 17223 . . . . . . . 8 t
2524simprd 451 . . . . . . 7 t
2623, 25syl 16 . . . . . 6 𝑘Gen t
27 inex1g 4348 . . . . . 6
28 elpwg 3808 . . . . . 6
2926, 27, 283syl 19 . . . . 5 𝑘Gen t
3021, 29mpbiri 226 . . . 4 𝑘Gen t
3115simprd 451 . . . 4 𝑘Gen t t t
329restin 17232 . . . . . 6 t t
338, 26, 32syl2anc 644 . . . . 5 𝑘Gen t t t
34 simpr 449 . . . . 5 𝑘Gen t t
3533, 34eqeltrrd 2513 . . . 4 𝑘Gen t t
36 oveq2 6091 . . . . . . 7 t t
3736eleq1d 2504 . . . . . 6 t t
38 ineq2 3538 . . . . . . 7
3938, 36eleq12d 2506 . . . . . 6 t t
4037, 39imbi12d 313 . . . . 5 t t t t
4140rspcv 3050 . . . 4 t t t t
4230, 31, 35, 41syl3c 60 . . 3 𝑘Gen t t
4320, 42eqeltrrd 2513 . 2 𝑘Gen t t
4443, 33eleqtrrd 2515 1 𝑘Gen t t
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  cpw 3801  cuni 4017   cdm 4880  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccmp 17451  𝑘Genckgen 17567 This theorem is referenced by:  kgentopon  17572  kgencmp  17579  kgenidm  17581  llycmpkgen2  17584  1stckgen  17588  kgencn3  17592  txkgen  17686 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-rest 13652  df-top 16965  df-topon 16968  df-cmp 17452  df-kgen 17568
 Copyright terms: Public domain W3C validator