Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgenidm Unicode version

Theorem kgenidm 17242
 Description: The compact generator is idempotent on compactly generated spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgenidm 𝑘Gen 𝑘Gen

Proof of Theorem kgenidm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kgenf 17236 . . . 4 𝑘Gen
2 ffn 5389 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen
3 fvelrnb 5570 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
41, 2, 3mp2b 9 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen
5 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12
65toptopon 16671 . . . . . . . . . . 11 TopOn
7 kgentopon 17233 . . . . . . . . . . 11 TopOn 𝑘Gen TopOn
86, 7sylbi 187 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen TopOn
9 kgentopon 17233 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen TopOn 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
108, 9syl 15 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
11 toponss 16667 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn 𝑘Gen𝑘Gen
1210, 11sylan 457 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen
13 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gen𝑘Gen
14 kgencmp2 17241 . . . . . . . . . . . . . 14 t 𝑘Gent
1514biimpa 470 . . . . . . . . . . . . 13 t 𝑘Gent
1615ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gent
17 kgeni 17232 . . . . . . . . . . . 12 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gent 𝑘Gent
1813, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen𝑘Gen t 𝑘Gent
19 kgencmp 17240 . . . . . . . . . . . 12 t t 𝑘Gent
2019ad2ant2rl 729 . . . . . . . . . . 11 𝑘Gen𝑘Gen t t 𝑘Gent
2118, 20eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen𝑘Gen t t
2221expr 598 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen t t
2322ralrimiva 2626 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen t t
24 simpl 443 . . . . . . . . . 10 𝑘Gen𝑘Gen
2524, 6sylib 188 . . . . . . . . 9 𝑘Gen𝑘Gen TopOn
26 elkgen 17231 . . . . . . . . 9 TopOn 𝑘Gen t t
2725, 26syl 15 . . . . . . . 8 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen t t
2812, 23, 27mpbir2and 888 . . . . . . 7 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
2928ex 423 . . . . . 6 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
3029ssrdv 3185 . . . . 5 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
31 fveq2 5525 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen
32 id 19 . . . . . 6 𝑘Gen 𝑘Gen
3331, 32sseq12d 3207 . . . . 5 𝑘Gen 𝑘Gen𝑘Gen 𝑘Gen 𝑘Gen
3430, 33syl5ibcom 211 . . . 4 𝑘Gen 𝑘Gen
3534rexlimiv 2661 . . 3 𝑘Gen 𝑘Gen
364, 35sylbi 187 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
37 kgentop 17237 . . 3 𝑘Gen
38 kgenss 17238 . . 3 𝑘Gen
3937, 38syl 15 . 2 𝑘Gen 𝑘Gen
4036, 39eqssd 3196 1 𝑘Gen 𝑘Gen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   cin 3151   wss 3152  cpw 3625  cuni 3827   crn 4690   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325  ctop 16631  TopOnctopon 16632  ccmp 17113  𝑘Genckgen 17228 This theorem is referenced by:  iskgen2  17243  kgencn3  17253  txkgen  17346 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cmp 17114  df-kgen 17229
 Copyright terms: Public domain W3C validator